04- Seja a população de pessoas de um município em que
possuem certa doença. Toma-se uma amostra aleatória de quatro pessoas. Qual a probabilidade de…
(e) exatamente três pessoas doentes?
(f) exatamente quatro pessoas doentes?
(g) menos que três pessoas doentes?
(h) qual o número esperado de pessoas doentes nessa amostra?
(e) exatamente três pessoas doentes?
(f) exatamente quatro pessoas doentes?
(g) menos que três pessoas doentes?
(h) qual o número esperado de pessoas doentes nessa amostra?
Passo 1
O enunciado diz que na população
das pessoas têm a doença. Foi retirada uma amostra aleatória de quatro pessoas. As perguntas são:
(e) qual a probabilidade de exatamente três pessoas doentes na amostra?
(f) qual a probabilidade de exatamente quatro pessoas doentes na amostra?
(g) qual a probabilidade de menos que três pessoas doentes na amostra?
(h) qual o número esperado de pessoas doentes nessa amostra?
(e) qual a probabilidade de exatamente três pessoas doentes na amostra?
(f) qual a probabilidade de exatamente quatro pessoas doentes na amostra?
(g) qual a probabilidade de menos que três pessoas doentes na amostra?
(h) qual o número esperado de pessoas doentes nessa amostra?
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a proporção/população com a doença é
(ou seja,
) e o tamanho da amostra é
. A amostra é aleatória (vamos tratar como ensaios independentes, com probabilidade constante de doença).
Passo 2
Modelagem: vamos usar a distribuição binomial. Explico por quê (bem devagarinho): a binomial serve quando temos:
- um número fixo de tentativas
(aqui ); - cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (doente / não doente);
- a probabilidade de “sucesso” (ser doente) é constante em cada tentativa (aqui
); - as tentativas são (aproximadamente) independentes — a suposição de amostra aleatória de pessoas costuma justificar isso.
Portanto podemos definir a variável aleatória
= número de pessoas doentes na amostra, com
.
Passo 3
Fórmula da binomial (vou explicar cada parte): para
,
onde:
-
é o número de maneiras de escolher sucessos entre tentativas, e vale
-
é a probabilidade de ocorrerem sucessos específicos, -
é a probabilidade dos fracassos restantes.
No nosso caso
,
e
. Vamos aplicar a fórmula para cada item.
Passo 4
Item (e): queremos
. Use a fórmula com
:
Calcule a combinação:
Calcule as potências passo a passo:
Agora multiplica tudo:
Passo 5
Item (f): queremos
. Use
:
Aqui
Portanto
Passo 6
Item (g): “menos que três pessoas doentes” significa
. Vou calcular cada termo.
Para
:
Calcule
e
.
Logo .
Logo
Para
:
Calcule
. Então
Para
:
Porque
. Então
Agora somamos:
Some em etapas:
. Depois
.
Observação alternativa (mais rápida na prova): você poderia calcular
e obter o mesmo resultado:
.
Passo 7
Item (h): número esperado (valor esperado) de uma binomial é dado por
Expliquei por que: em média, de
tentativas cada uma com probabilidade
de sucesso, espera-se
vezes
sucessos. Aqui
Interpretação: em muitas amostras de tamanho 4, a média do número de doentes será
; numa amostra só isso significa que o valor esperado é menor que 1 — é normal aqui.
Resposta
(e)
(f)
(g)
(h)
(f)
(g)
(h)