04- Seja a população de pessoas de um município em que 10 \% possuem certa doença. Toma-se uma amostra aleatória de quatro pessoas. Qual a probabilidade de…
(e) exatamente três pessoas doentes?
(f) exatamente quatro pessoas doentes?
(g) menos que três pessoas doentes?
(h) qual o número esperado de pessoas doentes nessa amostra?

Passo 1

O enunciado diz que na população 10\% das pessoas têm a doença. Foi retirada uma amostra aleatória de quatro pessoas. As perguntas são:
(e) qual a probabilidade de exatamente três pessoas doentes na amostra?
(f) qual a probabilidade de exatamente quatro pessoas doentes na amostra?
(g) qual a probabilidade de menos que três pessoas doentes na amostra?
(h) qual o número esperado de pessoas doentes nessa amostra?
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a proporção/população com a doença é 10\% (ou seja, p=0{,}10) e o tamanho da amostra é n=4. A amostra é aleatória (vamos tratar como ensaios independentes, com probabilidade constante de doença).

Passo 2

Modelagem: vamos usar a distribuição binomial. Explico por quê (bem devagarinho): a binomial serve quando temos:
  1. um número fixo de tentativas n (aqui n=4);
  2. cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis (doente / não doente);
  3. a probabilidade de “sucesso” (ser doente) é constante em cada tentativa (aqui p=0{,}10);
  4. as tentativas são (aproximadamente) independentes — a suposição de amostra aleatória de pessoas costuma justificar isso.
Portanto podemos definir a variável aleatória X = número de pessoas doentes na amostra, com X \sim \mathrm{Bin}(n=4,p=0{,}10).

Passo 3

Fórmula da binomial (vou explicar cada parte): para X\sim\mathrm{Bin}(n,p),
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k}
onde:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k sucessos entre n tentativas, e vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
  • p^k é a probabilidade de ocorrerem k sucessos específicos,
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade dos n-k fracassos restantes.
No nosso caso n=4, p=0{,}10 e 1-p=0{,}90. Vamos aplicar a fórmula para cada item.

Passo 4

Item (e): queremos P(X=3). Use a fórmula com k=3:
P(X=3)=\binom{4}{3}(0{,}10)^3(0{,}90)^{1}.
Calcule a combinação:
\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!1!}=\frac{24}{6\cdot1}=4.
Calcule as potências passo a passo:
(0{,}10)^3=0{,}10\cdot0{,}10\cdot0{,}10=0{,}001,
(0{,}90)^1=0{,}90.
Agora multiplica tudo:
P(X=3)=4\cdot0{,}001\cdot0{,}90=4\cdot0{,}0009=0{,}0036.

Passo 5

Item (f): queremos P(X=4). Use k=4:
P(X=4)=\binom{4}{4}(0{,}10)^4(0{,}90)^{0}.
Aqui
\binom{4}{4}=1,\qquad (0{,}90)^0=1,
(0{,}10)^4=0{,}10\cdot0{,}10\cdot0{,}10\cdot0{,}10=0{,}0001.
Portanto
P(X=4)=1\cdot0{,}0001\cdot1=0{,}0001.

Passo 6

Item (g): “menos que três pessoas doentes” significa P(X<3)=P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2). Vou calcular cada termo.
Para k=0:
P(X=0)=\binom{4}{0}(0{,}10)^0(0{,}90)^4=1\cdot1\cdot(0{,}90)^4.
Calcule (0{,}90)^2=0{,}81 e (0{,}90)^4=(0{,}90)^2\cdot(0{,}90)^2=0{,}81\cdot0{,}81=0{,}6561.
Logo P(X=0)=0{,}6561.
Para k=1:
P(X=1)=\binom{4}{1}(0{,}10)^1(0{,}90)^3=4\cdot0{,}10\cdot(0{,}90)^3.
Calcule (0{,}90)^3=0{,}729. Então
P(X=1)=4\cdot0{,}10\cdot0{,}729=4\cdot0{,}0729=0{,}2916.
Para k=2:
P(X=2)=\binom{4}{2}(0{,}10)^2(0{,}90)^2=6\cdot0{,}01\cdot0{,}81.
Porque \binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=6. Então
P(X=2)=6\cdot0{,}01\cdot0{,}81=6\cdot0{,}0081=0{,}0486.
Agora somamos:
P(X\le 2)=0{,}6561+0{,}2916+0{,}0486.
Some em etapas: 0{,}6561+0{,}2916=0{,}9477. Depois 0{,}9477+0{,}0486=0{,}9963.
Observação alternativa (mais rápida na prova): você poderia calcular P(X\le2)=1-P(X\ge3)=1-[P(X=3)+P(X=4)] e obter o mesmo resultado: 1-(0{,}0036+0{,}0001)=0{,}9963.

Passo 7

Item (h): número esperado (valor esperado) de uma binomial é dado por
E(X)=n p.
Expliquei por que: em média, de n tentativas cada uma com probabilidade p de sucesso, espera-se n vezes p sucessos. Aqui
E(X)=4\cdot0{,}10=0{,}40.
Interpretação: em muitas amostras de tamanho 4, a média do número de doentes será 0{,}4; numa amostra só isso significa que o valor esperado é menor que 1 — é normal aqui.

Resposta

(e) 0{,}0036
(f) 0{,}0001
(g) 0{,}9963
(h) 0{,}40

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