05 - Suponha que três sementes de uma planta são selecionadas. Sabe-se que a probabilidade de germinação de cada semente é de 80 \%. Qual a probabilidade de…
(e) germinar menos que 3 sementes.
(f) não germinar sementes.
(g) qual modelo de probabilidade você utilizou?
(h) as suposições do modelo são atendidas?
(i) qual o número esperado de sementes germinadas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas: \n
  • Foram selecionadas 3 sementes. \n
  • A probabilidade de germinação de cada semente é 80\%, ou seja p=0,8. \n
    As perguntas são: \n
    (e) qual a probabilidade de germinar menos que 3 sementes? \n
    (f) qual a probabilidade de não germinar sementes? \n
    (g) qual modelo de probabilidade foi utilizado? \n
    (h) as suposições do modelo são atendidas? \n
    (i) qual o número esperado de sementes germinadas?

Passo 2

Defino a variável aleatória que vou trabalhar: \n
  • Seja X o número de sementes que germinam entre as 3 selecionadas. \n
    Então X pode assumir os valores \{0,1,2,3\}. Não resolvemos nada ainda, só estabelecemos a variável de interesse.

Passo 3

Vamos escolher um modelo adequado e explicar por que. \n
Quando temos um número fixo n de tentativas independentes, cada uma com apenas dois resultados possíveis (sucesso = germinar, fracasso = não germinar) e com a mesma probabilidade de sucesso p em cada tentativa, a distribuição apropriada para X é a distribuição binomial. \n
A função de probabilidade da binomial é: \n
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}
onde cada símbolo significa: \n
  • \Pr(X=k) é a probabilidade de exatamente k sementes germinarem; \n
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, o número de maneiras de escolher k sucessos entre n tentativas; \n
  • p é a probabilidade de sucesso em uma tentativa; \n
  • n é o número total de tentativas. \n
    No nosso caso vamos usar n=3 e p=0,8.

Passo 4

Expliquei a fórmula; agora interpreto o coeficiente binomial para n=3: \n
\binom{3}{0}=1,\quad \binom{3}{1}=3,\quad \binom{3}{2}=3,\quad \binom{3}{3}=1.
Isto significa, por exemplo, que há 3 maneiras diferentes de ter exatamente 1 semente germinando entre as 3.

Passo 5

Calculo a probabilidade de não germinar nenhuma semente, que é a parte (f). \n
Usando a fórmula com k=0: \n
\Pr(X=0)=\binom{3}{0}\,0,8^{0}\,(1-0,8)^{3}=1\cdot 1\cdot 0,2^{3}.
Agora calcule 0,2^{3}: \n
0,2^{2}=0,04,\quad 0,2^{3}=0,04\cdot 0,2=0,008.
Portanto \Pr(X=0)=0,008.

Passo 6

Calculo a probabilidade de exatamente 1 semente germinar (passo intermediário para (e)). \n
Com k=1: \n
\Pr(X=1)=\binom{3}{1}\,0,8^{1}\,0,2^{2}=3\cdot 0,8\cdot 0,04.
Faço as contas em partes: \n
0,8\cdot 0,04=0,032,\quad 3\cdot 0,032=0,096.
Logo \Pr(X=1)=0,096.

Passo 7

Calculo a probabilidade de exatamente 2 sementes germinarem (outro termo para (e)). \n
Com k=2: \n
\Pr(X=2)=\binom{3}{2}\,0,8^{2}\,0,2^{1}=3\cdot 0,64\cdot 0,2.
Calcule: \n
0,64\cdot 0,2=0,128,\quad 3\cdot 0,128=0,384.
Portanto \Pr(X=2)=0,384.

Passo 8

Agora resolvo (e): probabilidade de germinar menos que 3 sementes, isto é \Pr(X<3)=\Pr(X\le 2). Podemos somar os três termos que já calculei ou usar o complemento. \n
Usando soma: \n
\Pr(X<3)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)+\Pr(X=2)=0,008+0,096+0,384.
Somando: \n
0,008+0,096=0,104,\quad 0,104+0,384=0,488.
Como checagem rápida, o complemento é \Pr(X=3)=0,8^{3}=0,512 e 1-0,512=0,488, bate com a soma. Portanto \Pr(X<3)=0,488.

Passo 9

Recapitulando as probabilidades pedidas: \n
  • (f) já calculada: \Pr(X=0)=0,008. \n
  • (e) já calculada: \Pr(X<3)=0,488.

Passo 10

Respondo (g) de forma direta com justificativa curta: \n
O modelo utilizado foi a distribuição binomial com parâmetros n=3 e p=0,8, pois temos n tentativas fixas, cada tentativa tem dois resultados e probabilidade de sucesso constante em cada tentativa.

Passo 11

Respondo (h): verifico as suposições do modelo e discuto se são razoáveis. \n
As suposições da binomial são: \n
  • número de tentativas n fixo (aqui n=3) — atendido; \n
  • cada tentativa é uma Bernoulli (sucesso/fracasso) — atendido pela definição do problema; \n
  • probabilidade de sucesso p igual em todas as tentativas — assumido como p=0,8; \n
  • tentativas independentes — assumido. \n
    Conclusão: matematicamente as suposições são satisfeitas se aceitarmos que as sementes são independentes e idênticas. Na prática, pode haver violações (ex.: sementes muito próximas competindo por recursos, variação na qualidade das sementes ou no microambiente), o que faria a suposição de independência ou de p constante não ser totalmente realista. Mas, para o enunciado padrão, podemos considerar que as suposições são atendidas.

Passo 12

Respondo (i): cálculo do número esperado de sementes germinadas. \n
Para uma binomial \text{Binomial}(n,p) o valor esperado é \n
E[X]=n\cdot p.
No nosso caso: \n
E[X]=3\cdot 0,8=2,4.
Interpretação: em média, esperando muitas repetições do experimento de três sementes, germinariam 2,4 sementes por experimento (ou seja, em média cerca de 2 a 3 sementes; 2,4 é a média).

Resposta

(e) \Pr(X<3)=0,488 \n
(f) \Pr(X=0)=0,008 \n
(g) \text{Distribuição binomial }(n=3,p=0,8)çã \n
(h) Sim — as suposições (n fixo, tentativas Bernoulli, probabilidade p constante e independência) são satisfeitas sob o enunciado; na prática independência ou p constante podem falhar. \n
(i) E[X]=3\cdot 0,8=2,4

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