05 - Suponha que três sementes de uma planta são selecionadas. Sabe-se que a probabilidade de germinação de cada semente é de
. Qual a probabilidade de…
(e) germinar menos que 3 sementes.
(f) não germinar sementes.
(g) qual modelo de probabilidade você utilizou?
(h) as suposições do modelo são atendidas?
(i) qual o número esperado de sementes germinadas?
(e) germinar menos que 3 sementes.
(f) não germinar sementes.
(g) qual modelo de probabilidade você utilizou?
(h) as suposições do modelo são atendidas?
(i) qual o número esperado de sementes germinadas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas: \n
- Foram selecionadas
sementes. \n - A probabilidade de germinação de cada semente é
, ou seja . \n
As perguntas são: \n
(e) qual a probabilidade de germinar menos quesementes? \n
(f) qual a probabilidade de não germinar sementes? \n
(g) qual modelo de probabilidade foi utilizado? \n
(h) as suposições do modelo são atendidas? \n
(i) qual o número esperado de sementes germinadas?
Passo 2
Defino a variável aleatória que vou trabalhar: \n
- Seja
o número de sementes que germinam entre as selecionadas. \n
Entãopode assumir os valores . Não resolvemos nada ainda, só estabelecemos a variável de interesse.
Passo 3
Vamos escolher um modelo adequado e explicar por que. \n
Quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com apenas dois resultados possíveis (sucesso = germinar, fracasso = não germinar) e com a mesma probabilidade de sucesso
em cada tentativa, a distribuição apropriada para
é a distribuição binomial. \n
A função de probabilidade da binomial é: \n
Quando temos um número fixo
A função de probabilidade da binomial é: \n
onde cada símbolo significa: \n
-
é a probabilidade de exatamente sementes germinarem; \n -
é o coeficiente binomial, o número de maneiras de escolher sucessos entre tentativas; \n -
é a probabilidade de sucesso em uma tentativa; \n -
é o número total de tentativas. \n
No nosso caso vamos usare .
Passo 4
Expliquei a fórmula; agora interpreto o coeficiente binomial para
: \n
Isto significa, por exemplo, que há
maneiras diferentes de ter exatamente
semente germinando entre as
.
Passo 5
Calculo a probabilidade de não germinar nenhuma semente, que é a parte (f). \n
Usando a fórmula com : \n
Usando a fórmula com
Agora calcule
: \n
Portanto
.
Passo 6
Calculo a probabilidade de exatamente
semente germinar (passo intermediário para (e)). \n
Com : \n
Com
Faço as contas em partes: \n
Logo
.
Passo 7
Calculo a probabilidade de exatamente
sementes germinarem (outro termo para (e)). \n
Com : \n
Com
Calcule: \n
Portanto
.
Passo 8
Agora resolvo (e): probabilidade de germinar menos que
sementes, isto é
. Podemos somar os três termos que já calculei ou usar o complemento. \n
Usando soma: \n
Usando soma: \n
Somando: \n
Como checagem rápida, o complemento é
e
, bate com a soma. Portanto
.
Passo 9
Recapitulando as probabilidades pedidas: \n
- (f) já calculada:
. \n - (e) já calculada:
.
Passo 10
Respondo (g) de forma direta com justificativa curta: \n
O modelo utilizado foi a distribuição binomial com parâmetros e
, pois temos
tentativas fixas, cada tentativa tem dois resultados e probabilidade de sucesso constante em cada tentativa.
O modelo utilizado foi a distribuição binomial com parâmetros
Passo 11
Respondo (h): verifico as suposições do modelo e discuto se são razoáveis. \n
As suposições da binomial são: \n
As suposições da binomial são: \n
- número de tentativas
fixo (aqui ) — atendido; \n - cada tentativa é uma Bernoulli (sucesso/fracasso) — atendido pela definição do problema; \n
- probabilidade de sucesso
igual em todas as tentativas — assumido como ; \n - tentativas independentes — assumido. \n
Conclusão: matematicamente as suposições são satisfeitas se aceitarmos que as sementes são independentes e idênticas. Na prática, pode haver violações (ex.: sementes muito próximas competindo por recursos, variação na qualidade das sementes ou no microambiente), o que faria a suposição de independência ou deconstante não ser totalmente realista. Mas, para o enunciado padrão, podemos considerar que as suposições são atendidas.
Passo 12
Respondo (i): cálculo do número esperado de sementes germinadas. \n
Para uma binomial o valor esperado é \n
Para uma binomial
No nosso caso: \n
Interpretação: em média, esperando muitas repetições do experimento de três sementes, germinariam
sementes por experimento (ou seja, em média cerca de
a
sementes;
é a média).
Resposta
(e)
\n
(f) \n
(g) \n
(h) Sim — as suposições (n fixo, tentativas Bernoulli, probabilidade constante e independência) são satisfeitas sob o enunciado; na prática independência ou
constante podem falhar. \n
(i)
(f)
(g)
(h) Sim — as suposições (n fixo, tentativas Bernoulli, probabilidade
(i)