Para as questões de 01 a 05 , responda:
Seja uma urna com 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Extrair, aleatoriamente e sem reposição, duas bolas.
Admitimos como sucesso a retirada da bola preta. Logo,
“número de bolas pretas extraídas na amostra”.
(a) Qual o espaço amostral do experimento?
(b) Quais valores
pode assumir?
(c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de
?
(d) Escreva a função de probabilidade de
.
Seja uma urna com 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Extrair, aleatoriamente e sem reposição, duas bolas.
Admitimos como sucesso a retirada da bola preta. Logo,
(a) Qual o espaço amostral do experimento?
(b) Quais valores
(c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de
(d) Escreva a função de probabilidade de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo:
-
Informações dadas:
- Urna com
bolas brancas e bolas pretas (total de bolas). - Extraem-se, aleatoriamente e sem reposição, duas bolas.
- Sucesso = retirar bola preta.
- Define-se a variável aleatória
= “número de bolas pretas extraídas na amostra”.
- Urna com
-
Perguntas do enunciado:
(a) Qual o espaço amostral do experimento?
(b) Quais valorespode assumir?
(c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de?
(d) Escreva a função de probabilidade de.
Passo 2
Decidindo o formato do espaço amostral (explicação didática): como o experimento é “extrair duas bolas” e normalmente pensamos nas extrações em sequência, vou representar cada resultado por uma sequência de duas letras indicando a cor da primeira e da segunda retirada:
= branca,
= preta. Assim o espaço amostral composto por cores (considerando ordem) é
Observação curta: poderíamos também usar pares sem ordem (onde
e
seriam o mesmo), mas representar por sequência facilita calcular probabilidades usando regra do produto (probabilidade condicional na retirada sem reposição).
Passo 3
Quais valores
pode assumir (explicação didática):
conta quantas bolas pretas apareceram nas duas retiradas. É óbvio que podemos ter nenhuma preta, uma preta, ou duas pretas. Logo
Passo 4
Associação dos resultados do espaço amostral aos valores de
(mapeamento):
-
significa 0 pretas, então leva a . -
e significam exatamente 1 preta (uma na primeira ou na segunda), então levam a . -
significa 2 pretas, então leva a .
Formalmente:
Passo 5
Cálculo das probabilidades dos resultados elementares usando probabilidade sequencial (cadeia de condicionais), com explicação: para eventos sequenciais sem reposição, a probabilidade de tirar uma cor em seguida de outra é o produto da probabilidade da primeira por a probabilidade da segunda condicionada na primeira.
-
Probabilidade de
(primeira branca e segunda branca): -
Probabilidade de
(branca, depois preta): -
Probabilidade de
(preta, depois branca): -
Probabilidade de
(preta, depois preta):
Verificação rápida: a soma
, portanto está consistente.
Passo 6
Calcular a função de probabilidade de
a partir das probabilidades elementares (soma dos resultados que dão o mesmo
):
-
Para
: só o resultado , então -
Para
: são e , então -
Para
: só , então
Passo 7
(Fecho didático — alternativa pela fórmula hipergeométrica) Uma forma padrão e útil de resolver esse tipo de problema é usar a distribuição hipergeométrica. A fórmula geral para a probabilidade de obter exatamente
sucessos (bolas pretas) numa amostra de tamanho
retirada sem reposição de uma população de tamanho
com
sucessos é
Aqui
,
(pretas na população) e
. Calculando:
Esses valores coincidem com os obtidos no cálculo sequencial anterior (bom sinal!).]
Resposta
(a)
(b)
(c) , \quad
, \quad
(d)
(b)
(c)
(d)