Para as questões de 01 a 05 , responda:
Seja uma urna com 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Extrair, aleatoriamente e sem reposição, duas bolas.
Admitimos como sucesso a retirada da bola preta. Logo, X= “número de bolas pretas extraídas na amostra”.
(a) Qual o espaço amostral do experimento?
(b) Quais valores X pode assumir?
(c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de X ?
(d) Escreva a função de probabilidade de X.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo:
  • Informações dadas:
    • Urna com 3 bolas brancas e 2 bolas pretas (total de 5 bolas).
    • Extraem-se, aleatoriamente e sem reposição, duas bolas.
    • Sucesso = retirar bola preta.
    • Define-se a variável aleatória X = “número de bolas pretas extraídas na amostra”.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Qual o espaço amostral do experimento?
    (b) Quais valores X pode assumir?
    (c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de X?
    (d) Escreva a função de probabilidade de X.

Passo 2

Decidindo o formato do espaço amostral (explicação didática): como o experimento é “extrair duas bolas” e normalmente pensamos nas extrações em sequência, vou representar cada resultado por uma sequência de duas letras indicando a cor da primeira e da segunda retirada: W = branca, B = preta. Assim o espaço amostral composto por cores (considerando ordem) é
S=\{WW,\;WB,\;BW,\;BB\}.
Observação curta: poderíamos também usar pares sem ordem (onde WB e BW seriam o mesmo), mas representar por sequência facilita calcular probabilidades usando regra do produto (probabilidade condicional na retirada sem reposição).

Passo 3

Quais valores X pode assumir (explicação didática): X conta quantas bolas pretas apareceram nas duas retiradas. É óbvio que podemos ter nenhuma preta, uma preta, ou duas pretas. Logo
X\in\{0,1,2\}.

Passo 4

Associação dos resultados do espaço amostral aos valores de X (mapeamento):
  • WW significa 0 pretas, então leva a X=0.
  • WB e BW significam exatamente 1 preta (uma na primeira ou na segunda), então levam a X=1.
  • BB significa 2 pretas, então leva a X=2.
Formalmente:
\begin{aligned} X=0 &\longleftrightarrow \{WW\},\\\ X=1 &\longleftrightarrow \{WB,\;BW\},\\\ X=2 &\longleftrightarrow \{BB\}. \end{aligned}

Passo 5

Cálculo das probabilidades dos resultados elementares usando probabilidade sequencial (cadeia de condicionais), com explicação: para eventos sequenciais sem reposição, a probabilidade de tirar uma cor em seguida de outra é o produto da probabilidade da primeira por a probabilidade da segunda condicionada na primeira.
  • Probabilidade de WW (primeira branca e segunda branca):
    P(WW)=P(\text{1ª branca})\cdot P(\text{2ª branca}\mid \text{1ª branca}) =\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.ªªª
  • Probabilidade de WB (branca, depois preta):
    P(WB)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.
  • Probabilidade de BW (preta, depois branca):
    P(BW)=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.
  • Probabilidade de BB (preta, depois preta):
    P(BB)=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}.
Verificação rápida: a soma 3/10+3/10+3/10+1/10=1, portanto está consistente.

Passo 6

Calcular a função de probabilidade de X a partir das probabilidades elementares (soma dos resultados que dão o mesmo X):
  • Para X=0: só o resultado WW, então
    P(X=0)=P(WW)=\frac{3}{10}.
  • Para X=1: são WB e BW, então
    P(X=1)=P(WB)+P(BW)=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.
  • Para X=2: só BB, então
    P(X=2)=P(BB)=\frac{1}{10}.

Passo 7

(Fecho didático — alternativa pela fórmula hipergeométrica) Uma forma padrão e útil de resolver esse tipo de problema é usar a distribuição hipergeométrica. A fórmula geral para a probabilidade de obter exatamente k sucessos (bolas pretas) numa amostra de tamanho n retirada sem reposição de uma população de tamanho N com K sucessos é
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}.
Aqui N=5, K=2 (pretas na população) e n=2. Calculando:
\begin{aligned} P(X=0)&=\frac{\binom{2}{0}\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}}=\frac{1\cdot 3}{10}=\frac{3}{10},\\[4pt] P(X=1)&=\frac{\binom{2}{1}\binom{3}{1}}{\binom{5}{2}}=\frac{2\cdot 3}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},\\[4pt] P(X=2)&=\frac{\binom{2}{2}\binom{3}{0}}{\binom{5}{2}}=\frac{1\cdot 1}{10}=\frac{1}{10}. \end{aligned}
Esses valores coincidem com os obtidos no cálculo sequencial anterior (bom sinal!).]

Resposta

(a) S=\{WW,\;WB,\;BW,\;BB\}
(b) X\in\{0,1,2\}
(c) X=0\longleftrightarrow\{WW\}, \quad X=1\longleftrightarrow\{WB,\;BW\}, \quad X=2\longleftrightarrow\{BB\}
(d) \displaystyle P(X=0)=\frac{3}{10},\quad P(X=1)=\frac{3}{5},\quad P(X=2)=\frac{1}{10}

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