Para as questões de 01 a 05 , responda:
Seja uma urna com 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Extrair, aleatoriamente e com reposição, duas bolas.
Admitimos como sucesso a retirada da bola preta. Logo,
“número de bolas pretas extraídas na amostra”.
(a) Qual o espaço amostral do experimento?
(b) Quais valores
pode assumir?
(c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de
?
(d) Escreva a função de probabilidade de
.
Seja uma urna com 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Extrair, aleatoriamente e com reposição, duas bolas.
Admitimos como sucesso a retirada da bola preta. Logo,
(a) Qual o espaço amostral do experimento?
(b) Quais valores
(c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de
(d) Escreva a função de probabilidade de
Passo 1
O enunciado dá uma urna com
bolas brancas e
bolas pretas. Extraem-se duas bolas, aleatoriamente e com reposição. Consideramos “sucesso” a retirada de uma bola preta. Definem
como “número de bolas pretas extraídas na amostra”. O que o problema pede é:
(a) o espaço amostral do experimento;
(b) os valores que pode assumir;
(c) quais resultados do espaço amostral correspondem a cada valor de ;
(d) a função de probabilidade (pmf) de .
Informações relevantes dadas no enunciado (sem resolver ainda): a amostra tem extrações com reposição; há
bolas pretas e
brancas, logo a probabilidade de retirar preta em qualquer extração é
e de retirar branca é
. As extrações são independentes por causa da reposição.
(a) o espaço amostral do experimento;
(b) os valores que
(c) quais resultados do espaço amostral correspondem a cada valor de
(d) a função de probabilidade (pmf) de
Informações relevantes dadas no enunciado (sem resolver ainda): a amostra tem
Passo 2
O que é o espaço amostral aqui? Como as extrações são ordenadas (primeira e segunda retirada) e há reposição, cada resultado é um par ordenado indicando a cor da primeira e da segunda bola. Vou escrever as cores por extenso dentro de fórmulas para ficar claro. Assim o espaço amostral é
Esses são todos os possíveis resultados das duas extrações.
Passo 3
Quais valores
pode assumir?
conta quantas pretas saíram nas duas extrações. Então os possíveis valores são
(nenhuma preta),
(uma preta) e
(duas pretas). Em notação:
Passo 4
Agora vamos ligar cada resultado do espaço amostral ao valor de
.
- Se sair
, então não saiu nenhuma preta, logo . - Se sair
ou , saiu exatamente uma preta (em uma das duas posições), logo . - Se sair
, saíram duas pretas, logo .
Isso responde (c) explicitamente: cada resultado correspondendo ao respectivo valor de.
Passo 5
Vamos calcular as probabilidades de cada resultado elementar. Por independência das extrações (reposição) e usando
e
:
Nota rápida: as probabilidades dos resultados com uma preta são iguais entre si, e há duas formas distintas de obter uma preta (primeira ou segunda).
Passo 6
Agora queremos a função de probabilidade de
, isto é,
para
. Uma forma sistemática é reconhecer que temos
ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso
. Isso é o caso clássico da distribuição binomial. A fórmula geral da binomial é
onde:
-
é o número de ensaios (aqui ); -
é o número de sucessos (aqui ); -
é a probabilidade de sucesso em um ensaio (aqui ); -
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais ensaios trouxeram sucesso).
No nosso caso, aplicando a fórmula come :
Passo 7
Calculemos os valores numéricos para ficar bem claro (passo a passo, como você pediu):
- Para
:
- Para
:
(Interpretação: o fator
vem das duas ordens distintas
e
.)
- Para
:
Cheque rápido:
, ou seja, as probabilidades somam 1.
Passo 8
Resumo prático (dica para a prova): ao ver vários ensaios independentes com reposição e “contar sucessos”, pense em Binomial com
igual ao número de extrações e
igual à probabilidade de sucesso por extração. Use
e calcule as combinações quando necessário. Agora coloquei tudo devagar para você entender passo a passo — respira fundo, você já está dominando isso!
Resposta
(a)
(b)
(c) para
;
para
e
;
para
.
(d) . Em valores:
(b)
(c)
(d)