Para as questões de 01 a 05 , responda:
Seja uma urna com 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Extrair, aleatoriamente e com reposição, duas bolas.
Admitimos como sucesso a retirada da bola preta. Logo, X= “número de bolas pretas extraídas na amostra”.
(a) Qual o espaço amostral do experimento?
(b) Quais valores X pode assumir?
(c) Quais resultados do espaço amostral levam aos respectivos valores de X ?
(d) Escreva a função de probabilidade de X.

Passo 1

O enunciado dá uma urna com 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. Extraem-se duas bolas, aleatoriamente e com reposição. Consideramos “sucesso” a retirada de uma bola preta. Definem X como “número de bolas pretas extraídas na amostra”. O que o problema pede é:
(a) o espaço amostral do experimento;
(b) os valores que X pode assumir;
(c) quais resultados do espaço amostral correspondem a cada valor de X;
(d) a função de probabilidade (pmf) de X.
Informações relevantes dadas no enunciado (sem resolver ainda): a amostra tem n=2 extrações com reposição; há 2 bolas pretas e 3 brancas, logo a probabilidade de retirar preta em qualquer extração é \Pr(\text{preta})=\dfrac{2}{5} e de retirar branca é \Pr(\text{branca})=\dfrac{3}{5}. As extrações são independentes por causa da reposição.

Passo 2

O que é o espaço amostral aqui? Como as extrações são ordenadas (primeira e segunda retirada) e há reposição, cada resultado é um par ordenado indicando a cor da primeira e da segunda bola. Vou escrever as cores por extenso dentro de fórmulas para ficar claro. Assim o espaço amostral é
\{(\text{preta},\text{preta}),(\text{preta},\text{branca}),(\text{branca},\text{preta}),(\text{branca},\text{branca})\}.
Esses são todos os possíveis resultados das duas extrações.

Passo 3

Quais valores X pode assumir? X conta quantas pretas saíram nas duas extrações. Então os possíveis valores são 0 (nenhuma preta), 1 (uma preta) e 2 (duas pretas). Em notação:
X\in\{0,1,2\}.

Passo 4

Agora vamos ligar cada resultado do espaço amostral ao valor de X.
  • Se sair (\text{branca},\text{branca}), então não saiu nenhuma preta, logo X=0.
  • Se sair (\text{preta},\text{branca}) ou (\text{branca},\text{preta}), saiu exatamente uma preta (em uma das duas posições), logo X=1.
  • Se sair (\text{preta},\text{preta}), saíram duas pretas, logo X=2.
    Isso responde (c) explicitamente: cada resultado correspondendo ao respectivo valor de X.

Passo 5

Vamos calcular as probabilidades de cada resultado elementar. Por independência das extrações (reposição) e usando \Pr(\text{preta})=\dfrac{2}{5} e \Pr(\text{branca})=\dfrac{3}{5}:
\Pr\big((\text{preta},\text{preta})\big)=\left(\dfrac{2}{5}\right)\left(\dfrac{2}{5}\right)=\left(\dfrac{2}{5}\right)^2,
\Pr\big((\text{preta},\text{branca})\big)=\left(\dfrac{2}{5}\right)\left(\dfrac{3}{5}\right),
\Pr\big((\text{branca},\text{preta})\big)=\left(\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{2}{5}\right),
\Pr\big((\text{branca},\text{branca})\big)=\left(\dfrac{3}{5}\right)\left(\dfrac{3}{5}\right)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^2.
Nota rápida: as probabilidades dos resultados com uma preta são iguais entre si, e há duas formas distintas de obter uma preta (primeira ou segunda).

Passo 6

Agora queremos a função de probabilidade de X, isto é, \Pr(X=k) para k=0,1,2. Uma forma sistemática é reconhecer que temos n=2 ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso p=\Pr(\text{preta})=\dfrac{2}{5}. Isso é o caso clássico da distribuição binomial. A fórmula geral da binomial é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde:
  • n é o número de ensaios (aqui n=2);
  • k é o número de sucessos (aqui k=0,1,2);
  • p é a probabilidade de sucesso em um ensaio (aqui p=\dfrac{2}{5});
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais ensaios trouxeram sucesso).
    No nosso caso, aplicando a fórmula com n=2 e p=\dfrac{2}{5}:
\Pr(X=k)=\binom{2}{k}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{k}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2-k},\quad k=0,1,2.

Passo 7

Calculemos os valores numéricos para ficar bem claro (passo a passo, como você pediu):
  • Para k=0:
\Pr(X=0)=\binom{2}{0}\left(\dfrac{2}{5}\right)^0\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=1\cdot 1\cdot \dfrac{9}{25}=\dfrac{9}{25}.
  • Para k=1:
\Pr(X=1)=\binom{2}{1}\left(\dfrac{2}{5}\right)^1\left(\dfrac{3}{5}\right)^1=2\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{5}=2\cdot \dfrac{6}{25}=\dfrac{12}{25}.
(Interpretação: o fator 2 vem das duas ordens distintas (\text{preta},\text{branca}) e (\text{branca},\text{preta}).)
  • Para k=2:
\Pr(X=2)=\binom{2}{2}\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\left(\dfrac{3}{5}\right)^0=1\cdot \dfrac{4}{25}\cdot 1=\dfrac{4}{25}.
Cheque rápido: \dfrac{9}{25}+\dfrac{12}{25}+\dfrac{4}{25}=\dfrac{25}{25}=1, ou seja, as probabilidades somam 1.

Passo 8

Resumo prático (dica para a prova): ao ver vários ensaios independentes com reposição e “contar sucessos”, pense em Binomial com n igual ao número de extrações e p igual à probabilidade de sucesso por extração. Use \Pr(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} e calcule as combinações quando necessário. Agora coloquei tudo devagar para você entender passo a passo — respira fundo, você já está dominando isso!

Resposta

(a) \{(\text{preta},\text{preta}),(\text{preta},\text{branca}),(\text{branca},\text{preta}),(\text{branca},\text{branca})\}
(b) X\in\{0,1,2\}
(c) X=0 para (\text{branca},\text{branca}); X=1 para (\text{preta},\text{branca}) e (\text{branca},\text{preta}); X=2 para (\text{preta},\text{preta}).
(d) \Pr(X=k)=\binom{2}{k}\left(\dfrac{2}{5}\right)^{k}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2-k},\\ k=0,1,2. Em valores: \Pr(X=0)=\dfrac{9}{25},\\ \Pr(X=1)=\dfrac{12}{25},\\ \Pr(X=2)=\dfrac{4}{25}.

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