06 - Um produtor de sementes vende pacotes de 20 sementes cada. Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar serão devolvidos. A probabilidade de uma semente germinar é 0,98 . Seja X o número de sementes que germinam em um pacote com 20 sementes.
(a) qual a distribuição de X ?
(b) as suposições do modelo são atendidas?
(c) qual a probabilidade de um pacote não ser devolvido?
(d) qual o número esperado de sementes germinadas do pacote?
(e) se o produtor vende 1000 pacotes, qual o número esperados de pacotes devolvidos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
  • Informação: cada pacote contém 20 sementes.
  • Informação: a probabilidade de uma semente germinar é 0,98.
  • Definição: X é o número de sementes que germinam em um pacote com 20 sementes.
Perguntas:
(a) Qual a distribuição de X?
(b) As suposições do modelo (que justificam essa distribuição) são atendidas?
(c) Qual a probabilidade de um pacote não ser devolvido? (lembre: pacotes com mais de uma semente sem germinar serão devolvidos)
(d) Qual o número esperado de sementes germinadas do pacote?
(e) Se o produtor vende 1000 pacotes, qual o número esperado de pacotes devolvidos?

Passo 2

Resposta da parte (a): identificar qual distribuição modela X.
Explicação didática: quando temos um número fixo n de ensaios independentes, cada ensaio com apenas dois resultados (sucesso = germinar, fracasso = não germinar) e a mesma probabilidade de sucesso p em cada ensaio, o número de sucessos segue a distribuição binomial. Aqui cada semente é um ensaio, há n=20 sementes e a probabilidade de germinar é p=0,98. Portanto
X \sim \text{Binomial}\bigl(20,\,0,98\bigr).
Também apresento a função de probabilidade para você saber usar na prova:
P(X=k)=\binom{20}{k}\,0,98^{\,k}\,0,02^{\,20-k},\qquad k=0,1,\dots,20,
onde \binom{20}{k} é o número de maneiras de escolher k sementes que germinam entre as 20.

Passo 3

Resposta da parte (b): checar as suposições do modelo binomial com explicações.
Suposições do modelo binomial e avaliação:
    1. Número fixo de ensaios: aqui n=20 sementes por pacote — satisfeito.
    1. Cada ensaio tem só dois resultados (germinar ou não germinar) — satisfeito.
    1. Probabilidade constante de sucesso p em cada ensaio: assumimos que cada semente tem probabilidade 0,98 de germinar; isso é razoável se as sementes são da mesma qualidade e condição — assumimos satisfeito.
    1. Ensaios independentes: assumimos que o destino de uma semente não afeta as outras; na prática pode haver alguma dependência (ex.: problema ambiental no pacote), mas para muitos problemas de prova essa hipótese é considerada aceitável como aproximação.
Conclusão didática curta: as suposições são razoavelmente atendidas para modelar X como binomial, salvo comentários de aplicação real sobre dependência que normalmente são desprezados em exercícios de prova.

Passo 4

Preparação para (c): trabalhar com o número de sementes que não germinam.
Defina Y como o número de sementes que não germinam em um pacote. Então Y=20-X. Como cada semente tem probabilidade de não germinar q=1-p=0,02, temos
Y\sim \text{Binomial}\bigl(20,\,0,02\bigr).
O pacote é devolvido quando há mais de uma semente sem germinar, ou seja, quando Y>1. Assim, o pacote não é devolvido quando Y\le 1.

Passo 5

Cálculo simbólico para (c): expressão da probabilidade de não ser devolvido.
P(\text{pacote não devolvido})=P(Y\le 1)=P(Y=0)+P(Y=1).ã
Usando a fórmula binomial:
P(Y=0)=0,98^{20},
P(Y=1)=\binom{20}{1}\,0,02\,0,98^{19}=20\cdot 0,02\cdot 0,98^{19}.
Logo,
P(\text{não devolvido})=0,98^{20}+20\cdot 0,02\cdot 0,98^{19}.ã

Passo 6

Cálculo numérico de (c) passo a passo (para fazer sem calculadora, mostro uma estratégia; aqui também dou o valor numérico):
  • Podemos calcular iterativamente 0,98^{k}. Fazendo isso obtemos
0,98^{20}\approx 0,6676079545,
0,98^{19}\approx 0,6812326067.
  • Então
20\cdot 0,02\cdot 0,98^{19}=0,4\cdot 0,6812326067\approx 0,2724930427.
  • Somando,
P(\text{não devolvido})\approx 0,6676079545+0,2724930427\approx 0,9401009972.ã
Arredondando, a probabilidade de um pacote não ser devolvido é aproximadamente 0,9401 (ou 94,01\%).

Passo 7

Resposta da parte (d): valor esperado de X com explicação.
Fórmula do valor esperado para binomial: se X\sim\text{Binomial}(n,p), então
\mathbb{E}[X]=n\cdot p.
Aqui n=20 e p=0,98, logo
\mathbb{E}[X]=20\cdot 0,98=19,6.
Interpretação intuitiva: em média, esperamos 19,6 sementes germinadas por pacote — ou seja, cerca de 19 ou 20 na prática, mas a média é 19,6.

Passo 8

Resposta da parte (e): número esperado de pacotes devolvidos entre 1000.
Se a probabilidade de um pacote ser devolvido é P(\text{devolvido})=1-P(\text{não devolvido})ã, então o número esperado de pacotes devolvidos em 1000 vendidos é
1000\cdot P(\text{devolvido})=1000\bigl(1-P(\text{não devolvido})\bigr).ã
Usando o valor numérico de P(\text{não devolvido})ã do Passo 6,
P(\text{devolvido})\approx 1-0,9401009972\approx 0,0598990028.
Portanto o número esperado de pacotes devolvidos é
1000\cdot 0,0598990028\approx 59,8990028,
ou seja, aproximadamente 59,90 pacotes — na prática espera-se cerca de 60 pacotes devolvidos.

Resposta

(a) X\sim \text{Binomial}\bigl(20,\,0,98\bigr)
(b) As suposições do modelo binomial (n fixo, ensaios Bernoulli, probabilidade constante, independência aproximada) são razoavelmente atendidas.
(c) P(\text{não devolvido})=0,98^{20}+20\cdot 0,02\cdot 0,98^{19}\approx 0,9401009972ã
(d) \mathbb{E}[X]=20\cdot 0,98=19,6
(e) Número esperado de pacotes devolvidos \approx 1000\cdot(1-0,9401009972)\approx 59,8990028

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