06 - Um produtor de sementes vende pacotes de 20 sementes cada. Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar serão devolvidos. A probabilidade de uma semente germinar é 0,98 . Seja
o número de sementes que germinam em um pacote com 20 sementes.
(a) qual a distribuição de
?
(b) as suposições do modelo são atendidas?
(c) qual a probabilidade de um pacote não ser devolvido?
(d) qual o número esperado de sementes germinadas do pacote?
(e) se o produtor vende 1000 pacotes, qual o número esperados de pacotes devolvidos?
(a) qual a distribuição de
(b) as suposições do modelo são atendidas?
(c) qual a probabilidade de um pacote não ser devolvido?
(d) qual o número esperado de sementes germinadas do pacote?
(e) se o produtor vende 1000 pacotes, qual o número esperados de pacotes devolvidos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
- Informação: cada pacote contém
sementes. - Informação: a probabilidade de uma semente germinar é
. - Definição:
é o número de sementes que germinam em um pacote com sementes.
Perguntas:
(a) Qual a distribuição de ?
(b) As suposições do modelo (que justificam essa distribuição) são atendidas?
(c) Qual a probabilidade de um pacote não ser devolvido? (lembre: pacotes com mais de uma semente sem germinar serão devolvidos)
(d) Qual o número esperado de sementes germinadas do pacote?
(e) Se o produtor vende pacotes, qual o número esperado de pacotes devolvidos?
(a) Qual a distribuição de
(b) As suposições do modelo (que justificam essa distribuição) são atendidas?
(c) Qual a probabilidade de um pacote não ser devolvido? (lembre: pacotes com mais de uma semente sem germinar serão devolvidos)
(d) Qual o número esperado de sementes germinadas do pacote?
(e) Se o produtor vende
Passo 2
Resposta da parte (a): identificar qual distribuição modela
.
Explicação didática: quando temos um número fixo de ensaios independentes, cada ensaio com apenas dois resultados (sucesso = germinar, fracasso = não germinar) e a mesma probabilidade de sucesso
em cada ensaio, o número de sucessos segue a distribuição binomial. Aqui cada semente é um ensaio, há
sementes e a probabilidade de germinar é
. Portanto
Explicação didática: quando temos um número fixo
Também apresento a função de probabilidade para você saber usar na prova:
onde
é o número de maneiras de escolher
sementes que germinam entre as
.
Passo 3
Resposta da parte (b): checar as suposições do modelo binomial com explicações.
Suposições do modelo binomial e avaliação:
Suposições do modelo binomial e avaliação:
-
- Número fixo de ensaios: aqui
sementes por pacote — satisfeito.
- Número fixo de ensaios: aqui
-
- Cada ensaio tem só dois resultados (germinar ou não germinar) — satisfeito.
-
- Probabilidade constante de sucesso
em cada ensaio: assumimos que cada semente tem probabilidade de germinar; isso é razoável se as sementes são da mesma qualidade e condição — assumimos satisfeito.
- Probabilidade constante de sucesso
-
- Ensaios independentes: assumimos que o destino de uma semente não afeta as outras; na prática pode haver alguma dependência (ex.: problema ambiental no pacote), mas para muitos problemas de prova essa hipótese é considerada aceitável como aproximação.
Conclusão didática curta: as suposições são razoavelmente atendidas para modelar
como binomial, salvo comentários de aplicação real sobre dependência que normalmente são desprezados em exercícios de prova.
Passo 4
Preparação para (c): trabalhar com o número de sementes que não germinam.
Defina como o número de sementes que não germinam em um pacote. Então
. Como cada semente tem probabilidade de não germinar
, temos
Defina
O pacote é devolvido quando há mais de uma semente sem germinar, ou seja, quando
. Assim, o pacote não é devolvido quando
.
Passo 5
Cálculo simbólico para (c): expressão da probabilidade de não ser devolvido.
Usando a fórmula binomial:
Logo,
Passo 6
Cálculo numérico de (c) passo a passo (para fazer sem calculadora, mostro uma estratégia; aqui também dou o valor numérico):
- Podemos calcular iterativamente
. Fazendo isso obtemos
- Então
- Somando,
Arredondando, a probabilidade de um pacote não ser devolvido é aproximadamente
(ou
).
Passo 7
Resposta da parte (d): valor esperado de
com explicação.
Fórmula do valor esperado para binomial: se , então
Fórmula do valor esperado para binomial: se
Aqui
e
, logo
Interpretação intuitiva: em média, esperamos
sementes germinadas por pacote — ou seja, cerca de
ou
na prática, mas a média é
.
Passo 8
Resposta da parte (e): número esperado de pacotes devolvidos entre
.
Se a probabilidade de um pacote ser devolvido é , então o número esperado de pacotes devolvidos em
vendidos é
Se a probabilidade de um pacote ser devolvido é
Usando o valor numérico de
do Passo 6,
Portanto o número esperado de pacotes devolvidos é
ou seja, aproximadamente
pacotes — na prática espera-se cerca de
pacotes devolvidos.
Resposta
(a)
(b) As suposições do modelo binomial (n fixo, ensaios Bernoulli, probabilidade constante, independência aproximada) são razoavelmente atendidas.
(c)
(d)
(e) Número esperado de pacotes devolvidos
(b) As suposições do modelo binomial (n fixo, ensaios Bernoulli, probabilidade constante, independência aproximada) são razoavelmente atendidas.
(c)
(d)
(e) Número esperado de pacotes devolvidos