04 . Seja p(x)=a x^{8}-b x^{6}-x^{3}-1. Sabendo que p(6)=-200, calcule p(-6).

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
p(x)=a x^{8}-b x^{6}-x^{3}-1
e informa que p(6)=-200. Queremos calcular p(-6). Para isso, vamos explorar a paridade dos termos: x^8 e x^6 são funções pares e x^3 é função ímpar.

Passo 2

Escrevendo p(6) e p(-6) de forma explícita, temos
p(6)=a\cdot6^{8}-b\cdot6^{6}-6^{3}-1,
p(-6)=a\cdot6^{8}-b\cdot6^{6}+6^{3}-1,
pois o termo -x^3 muda de sinal quando x é substituído por -x.

Passo 3

Calculamos a diferença
p(-6)-p(6) =(a\cdot6^{8}-b\cdot6^{6}+6^{3}-1)-\bigl(a\cdot6^{8}-b\cdot6^{6}-6^{3}-1\bigr) =2\cdot6^{3}=432.
Logo,
p(-6)=p(6)+432.

Passo 4

Substituindo p(6)=-200 na relação acima, obtém-se
p(-6)=-200+432=232.

Resposta

232

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