1. Encontre os valores de a, b, c de modo que (a+1) x^{4}+b x^{3}+(c-a) x seja o polinômio nulo.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a,b,c de forma que o polinômio
P(x) = (a+1)x^{4} + b\,x^{3} + (c - a)\,x
seja o polinômio nulo. Estamos usando o conteúdo de identificação do polinômio nulo, isto é, um polinômio é identicamente zero se, e somente se, todos os seus coeficientes forem zero.

Passo 2

Vamos igualar a zero cada coeficiente de P(x):
- Coeficiente de x^{4}:
a + 1 = 0.
- Coeficiente de x^{3}:
b = 0.
- Coeficiente de x^{2}:
não aparece termo em x^{2}, o que é equivalente a 0 = 0, não gera equação nova.
- Coeficiente de x:
c - a = 0.
- Coeficiente constante:
já é zero, sem gerar equação adicional.

Passo 3

Agora basta resolver o sistema de equações obtido:
\begin{cases} a + 1 = 0,\\\ b = 0,\\\ c - a = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem a = -1. Substituindo em c - a = 0 obtemos c - (-1) = 0, logo c = -1. E de b = 0 temos b = 0.

Resposta

a = -1,\quad b = 0,\quad c = -1.

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