1. Determine \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} de modo que se tenha \frac{a x^{2}+b x-1}{x^{2}-7 x+c}=-2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os números \mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c} tais que a função racional
\frac{a x^{2}+b x-1}{x^{2}-7 x+c}
seja igual à constante -2 para todo x onde está definida. Vamos usar o fato de que, se duas expressões racionais são iguais como funções, então o numerador de uma deve coincidir com o numerador da outra ao multiplicar em cruz, levando a uma identidade polinomial.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados da igualdade
\frac{a x^{2}+b x-1}{x^{2}-7 x+c} = -2
pelo denominador x^{2}-7 x+c. Isso dá a identidade em x:
a x^{2} + b x - 1 = -2\,\bigl(x^{2} - 7x + c\bigr).

Passo 3

Expandimos o lado direito:
-2\,(x^{2} - 7x + c) = -2x^{2} + 14x - 2c.
Portanto, a identidade polinomial é
a x^{2} + b x - 1 = -2x^{2} + 14x - 2c.

Passo 4

Para que dois polinômios sejam idênticos para todo x, seus coeficientes devem ser iguais termo a termo. Comparando coeficientes em ambos os lados:
  • Coeficiente de x^{2}: a = -2.
  • Coeficiente de x: b = 14.
  • Termo constante: -1 = -2c, de onde c = \tfrac{1}{2}.

Resposta

a = -2 b = 14 c = \tfrac{1}{2}

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