1. Fixado a \neq 0, determine a condição sobre b e c de modo que a x^{2}+b x+c seja um polinômio quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado pede a condição sobre b e c para que o polinômio quadrático
P(x)=a x^{2}+b x+c,
com a\neq0, seja um quadrado perfeito, isto é, exista um polinômio linear L(x) tal que
P(x)=[L(x)]^{2}.
Precisaremos usar a forma geral de um quadrado de binômio.

Passo 2

Suponha que
P(x) = (u x + v)^{2}
para certos u,v\in\mathbb{R}. Expandindo o quadrado, temos
(u x + v)^{2} = u^{2}x^{2} + 2uv\,x + v^{2}.

Passo 3

Comparando os coeficientes de x^{2}, de x e o termo constante em
a x^{2} + b x + c = u^{2}x^{2} + 2uv\,x + v^{2},
obtemos o sistema
u^{2} = a,\quad 2u v = b,\quad v^{2} = c.

Passo 4

Como u^{2}=a e a\neq0, segue u\neq0. Da segunda igualdade,
v = \frac{b}{2u}.
Substituindo em v^{2}=c e usando u^{2}=a, resulta
\Bigl(\frac{b}{2u}\Bigr)^{2} = c \quad\Longrightarrow\quad \frac{b^{2}}{4u^{2}} = c \quad\Longrightarrow\quad \frac{b^{2}}{4a} = c.
Isto é exatamente
b^{2} - 4ac = 0.

Resposta

A condição necessária e suficiente é
b^{2} - 4ac = 0,
ou, equivalentemente,
c = \frac{b^{2}}{4a}.

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