04 Um termômetro defeituoso, graduado na escala Fahrenheit indica 30^{\circ} \mathrm{F} para a temperatura de fusão do gelo e 214^{\circ} \mathrm{F} para a temperatura de ebulição da água. Nesse termômetro, determine a única temperatura medida corretamente.
05 Um médico inglês mede a temperatura de um paciente com suspeita de infecção e obtém em seu termômetro clínico o valor de 102,2^{\circ} \mathrm{F} (graus Fahrenheit).
a) Tem ele motivo de preocupação com o paciente? Justifique.

Passo 1

Enunciados e dados que temos (vou listar separadinhos para você não se perder):
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  • Questão 04: Um termômetro defeituoso, graduado em Fahrenheit, indica 30^\circ\mathrm{F} para a temperatura de fusão do gelo e 214^\circ\mathrm{F} para a temperatura de ebulição da água. Pergunta: determine a única temperatura que esse termômetro indica corretamente.
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  • Dados fornecidos explícitos para a Questão 04:
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    • temperatura de fusão do gelo (temperatura real) = 0^\circ\mathrm{C} corresponde no termômetro defeituoso a leitura 30^\circ\mathrm{F} (essa leitura está na escala do termômetro defeituoso, em graus Fahrenheit conforme o enunciado);
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    • temperatura de ebulição da água (temperatura real) = 100^\circ\mathrm{C} corresponde no termômetro defeituoso a leitura 214^\circ\mathrm{F}.
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  • Questão 05(a): Um médico mede a temperatura do paciente e obtém 102{,}2^\circ\mathrm{F}. Pergunta: “Tem ele motivo de preocupação com o paciente? Justifique.”
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  • Dados fornecidos explícitos para a Questão 05(a):
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    • leitura do termômetro clínico = 102{,}2^\circ\mathrm{F}.
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  • Observação importante (do enunciado): assumir que a termometria segue as escalas usuais (Celsius e Fahrenheit) e que podemos usar a relação de conversão padrão entre elas quando necessário.
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    Fim do resumo das informações. Agora vamos resolver, explicando passo a passo tudo que é necessário.

Passo 2

Entendendo o que significa “termômetro defeituoso” e como modelar isso (aula curtinha e prática).
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  • Quando um termômetro dá leituras erradas mas de forma que as leituras mudam de forma proporcional com a temperatura real, isso é modelado por uma função linear entre a temperatura real (por exemplo em Celsius) e a leitura do termômetro. Ou seja, existe uma expressão da forma
R = a\cdot C + b
onde:
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  • R é a leitura do termômetro defeituoso (em ^\circ\mathrm{F}, segundo o enunciado);
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  • C é a temperatura real em ^\circ\mathrm{C};
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  • a e b são números reais que descrevem a escala e o deslocamento (inclinação e intercepto) do termômetro.
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  • Para determinar a e b usamos duas situações conhecidas (dois pares (C,R)), porque uma reta é determinada por dois pontos. No enunciado da Questão 04 esses dois pontos são exatamente os da fusão e ebulição da água.

Passo 3

Aplicando isso aos dados da Questão 04 para achar a relação entre a leitura defeituosa e a temperatura real em Celsius.
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  • Usamos os dois pares dados:
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    1. Para fusão do gelo: C=0 e R=30. Substituindo em R=aC+b
30 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b = 30.
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2. Para ebulição da água: C=100 e R=214. Substituindo:
214 = a\cdot 100 + b.
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  • Como já achamos b=30, substituímos:
214 = 100a + 30 \Rightarrow 100a = 214 - 30 = 184 \Rightarrow a = \frac{184}{100} = 1{,}84.
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  • Portanto a relação (função linear) entre leitura R do termômetro defeituoso e temperatura real C em Celsius é
R = 1{,}84\,C + 30.

Passo 4

Explicar como encontrar a temperatura que é “medida corretamente” e preparar a equação a resolver.
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  • Interpretação prática: a pergunta pede a temperatura real tal que a leitura do termômetro (expressa em graus Fahrenheit, já que o defeito é na graduação em Fahrenheit) coincide numericamente com a temperatura real expressa também em Fahrenheit. Ou seja, existe um T em ^\circ\mathrm{F} tal que a leitura R do termômetro (em ^\circ\mathrm{F}) é igual ao valor numérico da temperatura real T (em ^\circ\mathrm{F}). Esse é o ponto onde o termômetro “acerta” apesar do defeito.
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  • Para montar a equação que dá essa temperatura, precisamos relacionar temperatura real em Fahrenheit T com temperatura real em Celsius C, porque a nossa fórmula para R está em função de C. A fórmula padrão de conversão entre as escalas é
T = \frac{9}{5}C + 32,
onde T é a temperatura real em ^\circ\mathrm{F} e C é a temperatura real em ^\circ\mathrm{C}.
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  • Queremos resolver a igualdade “leitura do termômetro R = temperatura real T (ambos em ^\circ\mathrm{F})”. Ou seja:
R = T.
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  • Usaremos R = 1{,}84\,C + 30 e T = \dfrac{9}{5}C + 32. Substituiremos e resolveremos para C (ou diretamente para T).

Passo 5

Resolver a equação R=T substituindo as expressões em C (faça comigo, passo a passo).
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  • Escrevemos
1{,}84\,C + 30 = \frac{9}{5}C + 32.
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  • Agora vamos isolar C. Primeiro, subtraímos \frac{9}{5}C de ambos os lados:
1{,}84\,C - \frac{9}{5}C + 30 = 32.
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  • Calculando \frac{9}{5} em decimal dá 1{,}8. Então
1{,}84\,C - 1{,}8\,C + 30 = 32.
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  • Subtraindo 1{,}8\,C de 1{,}84\,C temos 0{,}04\,C. Portanto
0{,}04\,C + 30 = 32.
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  • Subtraindo 30 de ambos os lados:
0{,}04\,C = 2 \Rightarrow C = \frac{2}{0{,}04} = 50.
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  • Achamos C = 50^\circ\mathrm{C}. Agora convertemos para Fahrenheit usando T = \dfrac{9}{5}C + 32:
T = \frac{9}{5}\cdot 50 + 32 = 9\cdot 10 + 32 = 90 + 32 = 122.
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  • Portanto a temperatura real é 122^\circ\mathrm{F}, e nesse ponto a leitura do termômetro defeituoso coincide com a temperatura real (ou seja, o termômetro indica corretamente exatamente esse valor).

Passo 6

Breve verificação alternativa (pra você confiar no resultado): testar diretamente a igualdade com T=122^\circ\mathrm{F}.
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  • Converta T=122^\circ\mathrm{F} para Celsius:
C = \frac{5}{9}(T-32) = \frac{5}{9}(122-32) = \frac{5}{9}\cdot 90 = 50^\circ\mathrm{C}.
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  • Calcula a leitura do termômetro a partir de C=50^\circ\mathrm{C}:
R = 1{,}84\cdot 50 + 30 = 92 + 30 = 122^\circ\mathrm{F}.
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  • Deu R=122^\circ\mathrm{F}=T, confirmando que é o valor correto e único (reta só cruza a bissetriz num ponto porque são linhas com inclinações diferentes).

Passo 7

Agora vamos para a Questão 05(a): interpretar a medida do médico e decidir se há motivo de preocupação.
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  • Dados: leitura do termômetro clínico do médico = 102{,}2^\circ\mathrm{F}.
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  • Primeira coisa: o que é considerado “febre” em termos usuais médicos?
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    • Temperatura normal média = aproximadamente 98{,}6^\circ\mathrm{F} (ou 37{,}0^\circ\mathrm{C}), embora haja variação pessoal.
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    • Sinal clínico aceito: considera-se febre quando a temperatura oral atinge ou ultrapassa 100{,}4^\circ\mathrm{F} (que é 38{,}0^\circ\mathrm{C}). Acima de 38^\circ\mathrm{C} já é febre; temperaturas na faixa de 39^\circ\mathrm{C} (aprox. 102{,}2^\circ\mathrm{F}) são consideradas febre alta.
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  • Então vamos converter a leitura 102{,}2^\circ\mathrm{F} para Celsius para ver em termos de ^{\circ}\mathrm{C} (a conta é direta e bonita).

Passo 8

Converter 102{,}2^\circ\mathrm{F} para Celsius e classificar.
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  • Fórmula de conversão (já explicada antes):
C = \frac{5}{9}(T-32).
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  • Substituindo T = 102{,}2:
C = \frac{5}{9}(102{,}2 - 32) = \frac{5}{9}\cdot 70{,}2.
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  • Calculemos 70{,}2 \div 9 = 7{,}8 (pois 9\times 7{,}8 = 70{,}2). Então
C = 5 \times 7{,}8 = 39{,}0.
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  • Ou seja, 102{,}2^\circ\mathrm{F} = 39{,}0^\circ\mathrm{C}.
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  • Comparando com o limiar de febre 38{,}0^\circ\mathrm{C}: 39{,}0^\circ\mathrm{C} é claramente maior, caracterizando febre alta.

Passo 9

Conclusão e justificativa compacta para a Questão 05(a) — incentivo e observação prática.
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  • Sim, o médico tem motivo de preocupação: a temperatura 102{,}2^\circ\mathrm{F} corresponde a 39{,}0^\circ\mathrm{C}, que é febre alta (acima de 38{,}0^\circ\mathrm{C}). Em termos clínicos isso justifica atenção, investigação da causa da febre e, dependendo do quadro do paciente, intervenção/monitoramento.
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  • Fica a dica amiga: quando vir >100{,}4^\circ\mathrm{F} já se liga, e \approx 102^\circ\mathrm{F} costuma indicar quadro mais sério que merece avaliação.

Resposta

04: 122^\circ\mathrm{F}.
05(a): Sim. 102{,}2^\circ\mathrm{F}=39{,}0^\circ\mathrm{C}, que é febre alta (> 38{,}0^\circ\mathrm{C}).

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