04 Um termômetro defeituoso, graduado na escala Fahrenheit indica
para a temperatura de fusão do gelo e
para a temperatura de ebulição da água. Nesse termômetro, determine a única temperatura medida corretamente.
05 Um médico inglês mede a temperatura de um paciente com suspeita de infecção e obtém em seu termômetro clínico o valor de
(graus Fahrenheit).
a) Tem ele motivo de preocupação com o paciente? Justifique.
a) Tem ele motivo de preocupação com o paciente? Justifique.
Passo 1
Enunciados e dados que temos (vou listar separadinhos para você não se perder):
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- Questão 04: Um termômetro defeituoso, graduado em Fahrenheit, indica
para a temperatura de fusão do gelo e para a temperatura de ebulição da água. Pergunta: determine a única temperatura que esse termômetro indica corretamente.
\n - Dados fornecidos explícitos para a Questão 04:
\n- temperatura de fusão do gelo (temperatura real) =
corresponde no termômetro defeituoso a leitura (essa leitura está na escala do termômetro defeituoso, em graus Fahrenheit conforme o enunciado);
\n - temperatura de ebulição da água (temperatura real) =
corresponde no termômetro defeituoso a leitura .
\n
- temperatura de fusão do gelo (temperatura real) =
- Questão 05(a): Um médico mede a temperatura do paciente e obtém
. Pergunta: “Tem ele motivo de preocupação com o paciente? Justifique.”
\n - Dados fornecidos explícitos para a Questão 05(a):
\n- leitura do termômetro clínico =
.
\n
- leitura do termômetro clínico =
- Observação importante (do enunciado): assumir que a termometria segue as escalas usuais (Celsius e Fahrenheit) e que podemos usar a relação de conversão padrão entre elas quando necessário.
\n
Fim do resumo das informações. Agora vamos resolver, explicando passo a passo tudo que é necessário.
Passo 2
Entendendo o que significa “termômetro defeituoso” e como modelar isso (aula curtinha e prática).
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- Quando um termômetro dá leituras erradas mas de forma que as leituras mudam de forma proporcional com a temperatura real, isso é modelado por uma função linear entre a temperatura real (por exemplo em Celsius) e a leitura do termômetro. Ou seja, existe uma expressão da forma
onde:
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\n
-
é a leitura do termômetro defeituoso (em , segundo o enunciado);
\n -
é a temperatura real em ;
\n -
e são números reais que descrevem a escala e o deslocamento (inclinação e intercepto) do termômetro.
\n - Para determinar
e usamos duas situações conhecidas (dois pares ), porque uma reta é determinada por dois pontos. No enunciado da Questão 04 esses dois pontos são exatamente os da fusão e ebulição da água.
Passo 3
Aplicando isso aos dados da Questão 04 para achar a relação entre a leitura defeituosa e a temperatura real em Celsius.
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\n
- Usamos os dois pares dados:
\n- Para fusão do gelo:
e . Substituindo em dá
- Para fusão do gelo:
\n
2. Para ebulição da água: e
. Substituindo:
2. Para ebulição da água:
\n
- Como já achamos
, substituímos:
\n
- Portanto a relação (função linear) entre leitura
do termômetro defeituoso e temperatura real em Celsius é
Passo 4
Explicar como encontrar a temperatura que é “medida corretamente” e preparar a equação a resolver.
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\n
- Interpretação prática: a pergunta pede a temperatura real tal que a leitura do termômetro (expressa em graus Fahrenheit, já que o defeito é na graduação em Fahrenheit) coincide numericamente com a temperatura real expressa também em Fahrenheit. Ou seja, existe um
em tal que a leitura do termômetro (em ) é igual ao valor numérico da temperatura real (em ). Esse é o ponto onde o termômetro “acerta” apesar do defeito.
\n - Para montar a equação que dá essa temperatura, precisamos relacionar temperatura real em Fahrenheit
com temperatura real em Celsius , porque a nossa fórmula para está em função de . A fórmula padrão de conversão entre as escalas é
onde
é a temperatura real em
e
é a temperatura real em
.
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\n
- Queremos resolver a igualdade “leitura do termômetro
= temperatura real (ambos em )”. Ou seja:
\n
- Usaremos
e . Substituiremos e resolveremos para (ou diretamente para ).
Passo 5
Resolver a equação
substituindo as expressões em
(faça comigo, passo a passo).
\n
\n
- Escrevemos
\n
- Agora vamos isolar
. Primeiro, subtraímos de ambos os lados:
\n
- Calculando
em decimal dá . Então
\n
- Subtraindo
de temos . Portanto
\n
- Subtraindo
de ambos os lados:
\n
- Achamos
. Agora convertemos para Fahrenheit usando :
\n
- Portanto a temperatura real é
, e nesse ponto a leitura do termômetro defeituoso coincide com a temperatura real (ou seja, o termômetro indica corretamente exatamente esse valor).
Passo 6
Breve verificação alternativa (pra você confiar no resultado): testar diretamente a igualdade com
.
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\n
- Converta
para Celsius:
\n
- Calcula a leitura do termômetro a partir de
:
\n
- Deu
, confirmando que é o valor correto e único (reta só cruza a bissetriz num ponto porque são linhas com inclinações diferentes).
Passo 7
Agora vamos para a Questão 05(a): interpretar a medida do médico e decidir se há motivo de preocupação.
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- Dados: leitura do termômetro clínico do médico =
.
\n - Primeira coisa: o que é considerado “febre” em termos usuais médicos?
\n- Temperatura normal média = aproximadamente
(ou ), embora haja variação pessoal.
\n - Sinal clínico aceito: considera-se febre quando a temperatura oral atinge ou ultrapassa
(que é ). Acima de já é febre; temperaturas na faixa de (aprox. ) são consideradas febre alta.
\n
- Temperatura normal média = aproximadamente
- Então vamos converter a leitura
para Celsius para ver em termos de (a conta é direta e bonita).
Passo 8
Converter
para Celsius e classificar.
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- Fórmula de conversão (já explicada antes):
\n
- Substituindo
:
\n
- Calculemos
(pois ). Então
\n
- Ou seja,
.
\n - Comparando com o limiar de febre
: é claramente maior, caracterizando febre alta.
Passo 9
Conclusão e justificativa compacta para a Questão 05(a) — incentivo e observação prática.
\n
\n
- Sim, o médico tem motivo de preocupação: a temperatura
corresponde a , que é febre alta (acima de ). Em termos clínicos isso justifica atenção, investigação da causa da febre e, dependendo do quadro do paciente, intervenção/monitoramento.
\n - Fica a dica amiga: quando vir
já se liga, e costuma indicar quadro mais sério que merece avaliação.
Resposta
04:
05(a): Sim. , que é febre alta (>
).
05(a): Sim.