Duas hastes do mesmo comprimento e material transferem uma determinada quantidade de calor em 12 segundos quando unidas em série. Em quanto tempo transferirão a mesma quantidade de calor, nas mesmas condições de temperatura, quando são unidos em paralelo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Temos duas hastes idênticas: mesmo comprimento, mesmo material (assumo também mesma seção transversal), unidas inicialmente em série.
  • Nessas condições em série, uma certa quantidade de calor é transferida em \,12\\ \text{s}.
  • Pergunta: nas mesmas condições de temperaturas (mesma diferença de temperatura entre as extremidades externas) e mesmas outras condições, em quanto tempo a mesma quantidade de calor será transferida quando as duas hastes forem unidas em paralelo?

Passo 2

Vamos entender a lei física básica que descreve condução térmica em regime estacionário (sem acumulação de calor).
A taxa de transferência de calor (potência térmica) por uma haste homogênea é dada por Fourier (forma simples):
\dot{Q}=\frac{kA}{L}\,\Delta T.
Expliquei cada símbolo:
  • \dot{Q} é a potência térmica (quantidade de calor por unidade de tempo), unidade \text{J/s}.
  • k é a condutividade térmica do material (depende do material), unidade \text{W/(m·K)}.
  • A é a área da seção transversal da haste, unidade \text{m}^2.
  • L é o comprimento da haste entre as superfícies onde a diferença de temperatura \Delta T é aplicada, unidade \text{m}.
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre as extremidades em contato com as fontes térmicas, unidade \text{K} ou ^\circ\text{C}.

Passo 3

É útil definir a resistência térmica da haste, análoga à resistência elétrica:
R=\frac{L}{kA}.
Com essa definição a taxa de calor fica
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R}.
Para uma quantidade total de calor Q transferida em tempo t vale
Q=\dot{Q}\,t=\frac{\Delta T}{R}\,t.
Isolando o tempo t,
t=\frac{Q\,R}{\Delta T}.
Isso mostra uma relação importante: para uma mesma quantidade Q e mesma \Delta T, o tempo t é diretamente proporcional à resistência térmica R. Ou seja, se reduzir a resistência térmica pela metade, o tempo necessário para transferir a mesma quantidade de calor também se reduz pela metade.

Passo 4

Calculemos a resistência de uma única haste (cada haste individual):
R_1=\frac{L}{kA}.
Aqui L é o comprimento de cada haste (dado que as duas são iguais), k e A também iguais.

Passo 5

Agora as duas configurações:
  • Hastes em série (end-to-end): as resistências térmicas somam, então
R_{\text{s}}=R_1+R_1=2R_1.
Fisicamente isso corresponde a uma haste efetiva de comprimento 2L entre as fontes, então resistência duas vezes maior.
  • Hastes em paralelo (lado a lado, ambas conectadas entre as mesmas temperaturas): as condutâncias ( 1/R) somam, logo a resistência equivalente é a resistência de uma haste dividida por 2:
\frac{1}{R_{\text{p}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_1}=\frac{2}{R_1}\quad\Rightarrow\quad R_{\text{p}}=\frac{R_1}{2}.
Intuição: cada haste conduz calor independentemente, então a capacidade total de condução dobra, resistência total reduz pela metade.

Passo 6

Sabemos que, na configuração em série, o tempo observado é \,12\\ \text{s}. Chamemos esse tempo de t_{\text{s}}=12\\ \text{s}. Pela relação t\propto R, o tempo em paralelo t_{\text{p}} será
t_{\text{p}}=t_{\text{s}}\cdot\frac{R_{\text{p}}}{R_{\text{s}}}.
Substituindo R_{\text{p}}=\dfrac{R_1}{2} e R_{\text{s}}=2R_1,
\frac{R_{\text{p}}}{R_{\text{s}}}=\frac{\dfrac{R_1}{2}}{2R_1}=\frac{1}{4}.
Portanto
t_{\text{p}}=12\\ \text{s}\times\frac{1}{4}=3\\ \text{s}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: em série a resistência é maior (duas hastes seguidas) então demora mais; em paralelo a resistência efetiva é menor (duas vias para o calor), então demora menos. O fator foi 1/4, resultando em 3\\ \text{s}. Isso faz sentido físico: em série a resistência total era 2R_1; em paralelo é R_1/2; razão (R_1/2)/(2R_1)=1/4.

Resposta

3\\ \text{s}

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