Duas hastes do mesmo comprimento e material transferem uma determinada quantidade de calor em 12 segundos quando unidas em série. Em quanto tempo transferirão a mesma quantidade de calor, nas mesmas condições de temperatura, quando são unidos em paralelo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Temos duas hastes idênticas: mesmo comprimento, mesmo material (assumo também mesma seção transversal), unidas inicialmente em série.
- Nessas condições em série, uma certa quantidade de calor é transferida em
. - Pergunta: nas mesmas condições de temperaturas (mesma diferença de temperatura entre as extremidades externas) e mesmas outras condições, em quanto tempo a mesma quantidade de calor será transferida quando as duas hastes forem unidas em paralelo?
Passo 2
Vamos entender a lei física básica que descreve condução térmica em regime estacionário (sem acumulação de calor).
A taxa de transferência de calor (potência térmica) por uma haste homogênea é dada por Fourier (forma simples):
A taxa de transferência de calor (potência térmica) por uma haste homogênea é dada por Fourier (forma simples):
Expliquei cada símbolo:
-
é a potência térmica (quantidade de calor por unidade de tempo), unidade . -
é a condutividade térmica do material (depende do material), unidade . -
é a área da seção transversal da haste, unidade . -
é o comprimento da haste entre as superfícies onde a diferença de temperatura é aplicada, unidade . -
é a diferença de temperatura entre as extremidades em contato com as fontes térmicas, unidade ou .
Passo 3
É útil definir a resistência térmica da haste, análoga à resistência elétrica:
Com essa definição a taxa de calor fica
Para uma quantidade total de calor
transferida em tempo
vale
Isolando o tempo
,
Isso mostra uma relação importante: para uma mesma quantidade
e mesma
, o tempo
é diretamente proporcional à resistência térmica
. Ou seja, se reduzir a resistência térmica pela metade, o tempo necessário para transferir a mesma quantidade de calor também se reduz pela metade.
Passo 4
Calculemos a resistência de uma única haste (cada haste individual):
Aqui
é o comprimento de cada haste (dado que as duas são iguais),
e
também iguais.
Passo 5
Agora as duas configurações:
- Hastes em série (end-to-end): as resistências térmicas somam, então
Fisicamente isso corresponde a uma haste efetiva de comprimento
entre as fontes, então resistência duas vezes maior.
- Hastes em paralelo (lado a lado, ambas conectadas entre as mesmas temperaturas): as condutâncias (
) somam, logo a resistência equivalente é a resistência de uma haste dividida por 2:
Intuição: cada haste conduz calor independentemente, então a capacidade total de condução dobra, resistência total reduz pela metade.
Passo 6
Sabemos que, na configuração em série, o tempo observado é
. Chamemos esse tempo de
. Pela relação
, o tempo em paralelo
será
Substituindo
e
,
Portanto
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: em série a resistência é maior (duas hastes seguidas) então demora mais; em paralelo a resistência efetiva é menor (duas vias para o calor), então demora menos. O fator foi
, resultando em
. Isso faz sentido físico: em série a resistência total era
; em paralelo é
; razão
.