c) Podemos atribuir uma temperatura ao vácuo?
08 A relação entre uma certa escala termométrica
e a escala Celsius é
e entre uma escala termométrica
e a escala Fahrenheit é
. Qual a relação entre as escalas
e
?
Passo 1
Temos duas coisas pedidas no enunciado:
c) “Podemos atribuir uma temperatura ao vácuo?” — é uma pergunta conceitual.
08) “A relação entre uma certa escala termométrica e a escala Celsius é
e entre uma escala termométrica
e a escala Fahrenheit é
. Qual a relação entre as escalas
e
?” — é a parte algébrica.
c) “Podemos atribuir uma temperatura ao vácuo?” — é uma pergunta conceitual.
08) “A relação entre uma certa escala termométrica
Informações dadas para a parte 08:
- Relação entre
e Celsius: . - Relação entre
e Fahrenheit: .
Nada mais foi fornecido; para relacionar
e
precisaremos da fórmula que relaciona Celsius e Fahrenheit.
Passo 2
Começando pela parte conceitual (c): o que é “temperatura” e quando ela pode ser atribuída a algo?
- Temperatura é uma grandeza termodinâmica que descreve o nível médio de energia cinética das partículas em um sistema em equilíbrio térmico. Em termos práticos, ela faz sentido quando há um sistema com muitas partículas (átomos, moléculas, fótons) cujo comportamento estatístico podemos descrever.
- Se não houver partículas (um vácuo “perfeito” absoluto, sem matéria e sem radiação), não há um conjunto de partículas para ter energia média e, portanto, a noção usual de temperatura não se aplica: não faz sentido dizer que “o vácuo” tem temperatura como um corpo material tem.
Passo 3
Contudo, existem situações físicas em que associamos um “valor de temperatura” ao espaço vazio por causa de campos e radiação presentes:
- O espaço intergaláctico está preenchido pelo fundo cósmico de micro-ondas (CMB), cuja radiação corresponde a uma temperatura de aproximadamente
. Ou seja, mesmo no que chamamos de “vácuo” do universo, existe radiação que tem uma temperatura mensurável. - Em teoria quântica de campos e relatividade, aparecem efeitos nos quais observadores diferentes atribuem temperaturas diferentes ao vácuo: por exemplo, o efeito Unruh (um observador acelerado vê o vácuo como um banho térmico) e a radiação de Hawking (buracos negros têm uma temperatura associada à sua radiação).
Portanto, resumindo a intuição: para um vácuo ideal, sem partículas nem radiação, temperatura não é definida; mas no vácuo físico (com radiação de fundo, flutuações quânticas ou efeitos relativísticos) podemos associar temperaturas efetivas em contextos específicos.
Passo 4
Agora tratamos a parte algébrica (08). Primeiro precisamos da relação entre Celsius
e Fahrenheit
. Essa relação é linear e vem dos pontos de referência: água congela a
C =
F e ferve a
C =
F. A forma linear que passa por esses pontos é
Explicando: é uma função afim
. A inclinação
é
e o termo independente
é
para ajustar o ponto
a
.
Passo 5
Usamos agora a fórmula dada para
em termos de
e substituímos a expressão de
em função de
. Partimos de
e substituímos
:
Agora desenvolvemos passo a passo: multiplicando por
,
Somando
obtemos
Passo 6
Temos
em função de
. Mas queremos a relação entre
e
. Como
, temos
. Substituímos
por
na expressão que achamos:
Agora vamos distribuir e simplificar com calma: primeiro a distribuição
Calculemos
. Multiplicando numeradores e denominadores,
Então
Para somar
é mais fácil colocar tudo sobre o mesmo denominador
:
. Assim
Portanto chegamos a
Passo 7
Podemos também isolar
em função de
(às vezes é útil na prova). A partir de
subtraímos
e multiplicamos por
:
Distribuindo o fator
,
No segundo termo o
cancela:
Logo
Resposta
c) Não podemos atribuir uma temperatura ao vácuo ideal (sem partículas nem radiação); porém no vácuo físico pode haver uma temperatura efetiva devido à radiação de fundo (por exemplo
do CMB) ou a efeitos quânticos/relativísticos.