22 Uma trena metálica de 5 m de comprimento é exata a
. Um dia, quando a temperatura ambiente é de
, é medido um terreno, com 100 m de comprimento. Qual é o verdadeiro comprimento do terreno, sabendo que
?
23 Considere um sólido constituído de um material anisótropo. Nestes materiais os coeficientes de dilatação linear dependem geralmente da direção de observação. Em todos os cristais é possível determinar três direções perpendiculares duas a duas, tais que, um cubo de cristal com arestas paralelas a essas direções, aquecido, conserva os ângulos retos, embora os comprimentos dos lados variem desigualmente. Tais direções constituem os eixos principais de dilatação e os coeficientes de dilatação linear relativos a essas direções são chamados coeficientes de dilatação linear principais. Sejam
, e
os coeficientes de dilatação linear principais de um cristal. Mostre que o coeficiente de dilatação volumétrica é dado por:
Passo 1
Questão 22 — Dados e o que se pede:
- Temos uma trena metálica de comprimento nominal
que é “exata” (ou seja, tem o comprimento correto) à temperatura de . - Num dia em que a temperatura ambiente é
usa-se essa trena para medir um terreno e obtém-se o comprimento marcado de . - O coeficiente de dilatação linear da trena é
. - Pergunta: qual é o verdadeiro comprimento do terreno (isto é, o comprimento real no solo), sabendo que a trena estava à temperatura
?
Questão 23 — Dados e o que se pede:
- Temos um cristal anisótropo com três coeficientes de dilatação linear principais nas direções mutuamente perpendiculares:
. - Considera-se um cubo do cristal com arestas paralelas a essas direções principais.
- Pergunta: mostrar (ou deduzir) a expressão do coeficiente de dilatação volumétrica do cubo em função de
e da variação de temperatura .
Passo 2
Conceitos úteis (aula rápida e prática sobre dilatação linear e volumétrica):
- Coeficiente de dilatação linear
: indica quanto um comprimento varia por grau de temperatura. A fórmula básica para dilatação linear quando a temperatura varia é
onde
é o comprimento na temperatura de referência e
é o comprimento na nova temperatura. Aqui
tem unidades
.
- Para um corpo com três arestas perpendiculares que mudam de comprimento por dilatação linear diferente em cada direção (
), o volume inicial passa a ser
- Definição prática do coeficiente de dilatação volumétrica
: normalmente definimos , onde . Em geral, para variações finitas podemos escrever
Passo 3
Resolução detalhada da Questão 22 — entender o efeito da trena aquecida:
- A trena é exata a
. Quando está a , cada segmento nominal de comprimento aumenta segundo a fórmula da dilatação linear. - A variação de temperatura é
- O fator de alongamento da trena (razão entre o comprimento a
e o comprimento a ) é
Passo 4
Calcular concretamente o alongamento da trena:
- Substituindo
e ,
- Calculando o produto dentro:
- Portanto o fator é
Isto significa: cada segmento da trena ficou
mais longo que o original.
Passo 5
Relacionar a medição lida com a trena ao comprimento real do terreno:
- A trena tem marcas tal que, à temperatura de referência, 20 segmentos de
dão . Ao usar a trena aquecida, cada segmento de referência vale fisicamente . - Quando a leitura da trena dá
, isso corresponde a segmentos de (ou seja, à marca de da trena). Cada um desses segmentos está mais longo. - Logo o comprimento real do terreno é
Passo 6
Finalizar cálculo da Questão 22:
- Multiplicando:
- Interpretação: a trena, por estar dilatada, fez com que a marca de
correspondesse a reais no solo. Em outras palavras, quem mediu leu mas o terreno tem .
Passo 7
Resolução detalhada da Questão 23 — começar pelo volume do cubo após aquecimento:
- Seja o cubo com arestas iniciais
. Para simplicidade escolhemos inicialmente (é um cubo), mas a dedução vale em geral para arestas independentes. - Após aquecimento
, as arestas ficam
- O volume inicial é
. O volume final é
Passo 8
Expressar o coeficiente volumétrico
a partir de
e
:
- A variação relativa do volume é
- Pelo defeito de definição de
(ver Passo 2),
Esta é a expressão exata do coeficiente de dilatação volumétrica para uma variação finita
.
Passo 9
Expandir a expressão (mostrar os termos e a aproximação para pequenas variações):
- Expandindo o produto temos
- Subtraindo 1 e dividindo por
dá
- Para pequenas variações de temperatura (ou quando os coeficientes
são pequenos, como é o caso usual), os termos de ordem e nas somas de produtos são desprezíveis, e obtemos a aproximação frequentemente usada:
Isto significa: para variação infinitesimal de temperatura, a dilatação volumétrica é a soma das dilatações lineares principais.
Passo 10
Resumo do que fizemos e pequeno incentivo:
- Já derivamos passo a passo como a trena aquecida altera a medição (Questão 22) e como, para um sólido anisótropo, a dilatação volumétrica se relaciona com os coeficientes lineares principais (Questão 23).
- Respirar fundo: essas deduções todas saem direto das fórmulas básicas de dilatação linear e da definição de volume — é só multiplicar e organizar termos. Você tá indo bem!