22 Uma trena metálica de 5 m de comprimento é exata a 15^{\circ} \mathrm{C}. Um dia, quando a temperatura ambiente é de 35^{\circ} \mathrm{C}, é medido um terreno, com 100 m de comprimento. Qual é o verdadeiro comprimento do terreno, sabendo que \alpha_{\text {trena }}= 4.10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ?
23 Considere um sólido constituído de um material anisótropo. Nestes materiais os coeficientes de dilatação linear dependem geralmente da direção de observação. Em todos os cristais é possível determinar três direções perpendiculares duas a duas, tais que, um cubo de cristal com arestas paralelas a essas direções, aquecido, conserva os ângulos retos, embora os comprimentos dos lados variem desigualmente. Tais direções constituem os eixos principais de dilatação e os coeficientes de dilatação linear relativos a essas direções são chamados coeficientes de dilatação linear principais. Sejam \alpha_{x}, \alpha_{y}, e \alpha_{z} os coeficientes de dilatação linear principais de um cristal. Mostre que o coeficiente de dilatação volumétrica é dado por:

Passo 1

Questão 22 — Dados e o que se pede:
  • Temos uma trena metálica de comprimento nominal 5\\ \mathrm{m} que é “exata” (ou seja, tem o comprimento correto) à temperatura de 15^\circ\mathrm{C}.
  • Num dia em que a temperatura ambiente é 35^\circ\mathrm{C} usa-se essa trena para medir um terreno e obtém-se o comprimento marcado de 100\\ \mathrm{m}.
  • O coeficiente de dilatação linear da trena é \alpha_{\text{trena}} = 4\cdot 10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Pergunta: qual é o verdadeiro comprimento do terreno (isto é, o comprimento real no solo), sabendo que a trena estava à temperatura 35^\circ\mathrm{C}?
Questão 23 — Dados e o que se pede:
  • Temos um cristal anisótropo com três coeficientes de dilatação linear principais nas direções mutuamente perpendiculares: \alpha_x,\\ \alpha_y,\\ \alpha_z.
  • Considera-se um cubo do cristal com arestas paralelas a essas direções principais.
  • Pergunta: mostrar (ou deduzir) a expressão do coeficiente de dilatação volumétrica do cubo em função de \alpha_x,\alpha_y,\alpha_z e da variação de temperatura \Delta T.

Passo 2

Conceitos úteis (aula rápida e prática sobre dilatação linear e volumétrica):
  • Coeficiente de dilatação linear \alpha: indica quanto um comprimento L_0 varia por grau de temperatura. A fórmula básica para dilatação linear quando a temperatura varia \Delta T é
L = L_0\,(1+\alpha\,\Delta T),
onde L_0 é o comprimento na temperatura de referência e L é o comprimento na nova temperatura. Aqui \alpha tem unidades ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Para um corpo com três arestas perpendiculares que mudam de comprimento por dilatação linear diferente em cada direção ( \alpha_x,\alpha_y,\alpha_z), o volume inicial V_0 = a b c passa a ser
V = a(1+\alpha_x\Delta T)\; b(1+\alpha_y\Delta T)\; c(1+\alpha_z\Delta T).
  • Definição prática do coeficiente de dilatação volumétrica \beta: normalmente definimos \Delta V/V_0 = \beta\,\Delta T, onde \Delta V=V-V_0. Em geral, para variações finitas podemos escrever
\beta = \frac{V - V_0}{V_0\,\Delta T}.

Passo 3

Resolução detalhada da Questão 22 — entender o efeito da trena aquecida:
  • A trena é exata a 15^\circ\mathrm{C}. Quando está a 35^\circ\mathrm{C}, cada segmento nominal de comprimento aumenta segundo a fórmula da dilatação linear.
  • A variação de temperatura é
\Delta T = 35^\circ\mathrm{C} - 15^\circ\mathrm{C} = 20^\circ\mathrm{C}.
  • O fator de alongamento da trena (razão entre o comprimento a 35^\circ\mathrm{C} e o comprimento a 15^\circ\mathrm{C}) é
1+\alpha_{\text{trena}}\,\Delta T.

Passo 4

Calcular concretamente o alongamento da trena:
  • Substituindo \alpha_{\text{trena}} = 4\cdot 10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} e \Delta T=20^\circ\mathrm{C},
1+\alpha_{\text{trena}}\,\Delta T = 1 + 4\cdot 10^{-4}\times 20.
  • Calculando o produto dentro:
4\cdot 10^{-4}\times 20 = 8\cdot 10^{-3} = 0{,}008.
  • Portanto o fator é
1+0{,}008 = 1{,}008.
Isto significa: cada segmento da trena ficou 0{,}8\% mais longo que o original.

Passo 5

Relacionar a medição lida com a trena ao comprimento real do terreno:
  • A trena tem marcas tal que, à temperatura de referência, 20 segmentos de 5\\ \mathrm{m} dão 100\\ \mathrm{m}. Ao usar a trena aquecida, cada segmento de referência vale fisicamente 5\times 1{,}008\\ \mathrm{m}.
  • Quando a leitura da trena dá 100\\ \mathrm{m}, isso corresponde a 100/5 = 20 segmentos de 5\\ \mathrm{m} (ou seja, à marca de 100\\ \mathrm{m} da trena). Cada um desses segmentos está mais longo.
  • Logo o comprimento real do terreno é
\text{comprimento real} = 100\\ \mathrm{m}\times 1{,}008.

Passo 6

Finalizar cálculo da Questão 22:
  • Multiplicando:
100\times 1{,}008 = 100{,}8\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: a trena, por estar dilatada, fez com que a marca de 100\\ \mathrm{m} correspondesse a 100{,}8\\ \mathrm{m} reais no solo. Em outras palavras, quem mediu leu 100\\ \mathrm{m} mas o terreno tem 100{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Resolução detalhada da Questão 23 — começar pelo volume do cubo após aquecimento:
  • Seja o cubo com arestas iniciais a,b,c. Para simplicidade escolhemos a=b=c inicialmente (é um cubo), mas a dedução vale em geral para arestas independentes.
  • Após aquecimento \Delta T, as arestas ficam
a' = a\,(1+\alpha_x\Delta T),\qquad b' = b\,(1+\alpha_y\Delta T),\qquad c' = c\,(1+\alpha_z\Delta T).
  • O volume inicial é V_0 = abc. O volume final é
V = a'b'c' = abc\,(1+\alpha_x\Delta T)(1+\alpha_y\Delta T)(1+\alpha_z\Delta T).

Passo 8

Expressar o coeficiente volumétrico \beta a partir de V e V_0:
  • A variação relativa do volume é
\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{V-V_0}{V_0} = (1+\alpha_x\Delta T)(1+\alpha_y\Delta T)(1+\alpha_z\Delta T)-1.
  • Pelo defeito de definição de \beta (ver Passo 2),
\beta = \frac{1}{\Delta T}\left[(1+\alpha_x\Delta T)(1+\alpha_y\Delta T)(1+\alpha_z\Delta T)-1\right].
Esta é a expressão exata do coeficiente de dilatação volumétrica para uma variação finita \Delta T.

Passo 9

Expandir a expressão (mostrar os termos e a aproximação para pequenas variações):
  • Expandindo o produto temos
(1+\alpha_x\Delta T)(1+\alpha_y\Delta T)(1+\alpha_z\Delta T)= 1 + (\alpha_x+\alpha_y+\alpha_z)\Delta T
\qquad\qquad + (\alpha_x\alpha_y+\alpha_x\alpha_z+\alpha_y\alpha_z)\Delta T^{2} + \alpha_x\alpha_y\alpha_z\Delta T^{3}.
  • Subtraindo 1 e dividindo por \Delta T
\beta = \alpha_x+\alpha_y+\alpha_z + (\alpha_x\alpha_y+\alpha_x\alpha_z+\alpha_y\alpha_z)\Delta T + \alpha_x\alpha_y\alpha_z\Delta T^{2}.
  • Para pequenas variações de temperatura (ou quando os coeficientes \alpha são pequenos, como é o caso usual), os termos de ordem \Delta T e \Delta T^2 nas somas de produtos são desprezíveis, e obtemos a aproximação frequentemente usada:
\beta \approx \alpha_x+\alpha_y+\alpha_z.
Isto significa: para variação infinitesimal de temperatura, a dilatação volumétrica é a soma das dilatações lineares principais.

Passo 10

Resumo do que fizemos e pequeno incentivo:
  • Já derivamos passo a passo como a trena aquecida altera a medição (Questão 22) e como, para um sólido anisótropo, a dilatação volumétrica se relaciona com os coeficientes lineares principais (Questão 23).
  • Respirar fundo: essas deduções todas saem direto das fórmulas básicas de dilatação linear e da definição de volume — é só multiplicar e organizar termos. Você tá indo bem!

Resposta

100{,}8\\ \mathrm{m}
\displaystyle \beta=\frac{(1+\alpha_x\Delta T)(1+\alpha_y\Delta T)(1+\alpha_z\Delta T)-1}{\Delta T}=\alpha_x+\alpha_y+\alpha_z+(\alpha_x\alpha_y+\alpha_x\alpha_z+\alpha_y\alpha_z)\Delta T+\alpha_x\alpha_y\alpha_z\Delta T^{2}

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