05/06
A esfera E tem raio r=raiz17 e corta ao plano piX Y no círculo
C:(x+2)^2+(y-1)^2=1
Achar o centro de E, e a equação de E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera E com raio r = raiz17 que corta o plano piXY formando um círculo C dado por (x+2)^2 + (y-1)^2 = 1. Nosso objetivo é encontrar o centro da esfera E e a equação completa dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre geometria espacial, especificamente sobre esferas e interseções com planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma esfera no espaço é dada por:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
onde (x0, y0, z0) é o centro da esfera e r é o raio.

Passo 3

Sabemos que a esfera corta o plano piXY, que é o plano onde z = 0. Isso significa que na interseção, z = 0 na equação da esfera. Então, substituindo z = 0 na equação da esfera, temos:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (0 - z0)^2 = r^2
Simplificando:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + z0^2 = r^2

Passo 4

Comparando essa equação com a equação do círculo C que é (x+2)^2 + (y-1)^2 = 1, percebemos que:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = 1
E também:
z0^2 = r^2 - 1

Passo 5

Então, identificamos que:
  • x0 = -2
  • y0 = 1
  • r = raiz17
Agora, vamos encontrar z0 usando z0^2 = (raiz17)^2 - 1 = 17 - 1 = 16, então z0 = pm4.

Passo 6

Portanto, o centro da esfera pode ser ( -2, 1, 4 ) ou ( -2, 1, -4 ).

Resposta

O centro da esfera E é ( -2, 1, 4 ) ou ( -2, 1, -4 ) e a equação da esfera é:
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 4)^2 = 17
ou
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 17

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