05/06
A esfera
tem raio
e corta ao plano
no círculo
Achar o centro de
, e a equação de
.
A esfera
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera
com raio
que corta o plano
formando um círculo
dado por
. Nosso objetivo é encontrar o centro da esfera
e a equação completa dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre geometria espacial, especificamente sobre esferas e interseções com planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma esfera no espaço é dada por:
onde
é o centro da esfera e
é o raio.
Passo 3
Sabemos que a esfera corta o plano
, que é o plano onde
. Isso significa que na interseção,
na equação da esfera. Então, substituindo
na equação da esfera, temos:
Simplificando:
Passo 4
Comparando essa equação com a equação do círculo
que é
, percebemos que:
E também:
Passo 5
Então, identificamos que:
Agora, vamos encontrar
usando
, então
.
Passo 6
Portanto, o centro da esfera pode ser
ou
.
Resposta
O centro da esfera
é
ou
e a equação da esfera é:
ou