15/05
Determine os vértices do paralelogramo ABCD sabendo que suas diagonais estão dentro das retas -x+2 y=0 e y=-x, ele tem um par de lados paralelos ao eixo O X, e sua área é 20.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar os vértices de um paralelogramo ABCD sabendo que suas diagonais estão nas retas -x + 2y = 0 e y = -x. Além disso, sabemos que um par de lados é paralelo ao eixo OX (o eixo horizontal) e que a área do paralelogramo é 20.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades dos paralelogramos, especialmente sobre as diagonais e a área. As diagonais de um paralelogramo se bissetam, ou seja, se cortam ao meio. Também vamos usar conceitos de geometria analítica para encontrar as coordenadas dos vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das duas diagonais. Isso porque esse ponto será o ponto médio de ambas as diagonais e, portanto, o centro do paralelogramo.
Temos as equações das diagonais:
  1. -x + 2y = 0
  2. y = -x
Vamos resolver esse sistema de equações. Substituindo y da segunda equação na primeira:
- x + 2(-x) = 0 - x - 2x = 0 -3x = 0 x = 0
Então, y = -x = 0.
Portanto, o ponto de interseção das diagonais é (0, 0). Esse é o centro do nosso paralelogramo.

Passo 3

Agora, vamos entender a orientação das diagonais. As retas das diagonais são -x + 2y = 0 e y = -x.
Podemos reescrever a primeira equação para facilitar:
- x + 2y = 0 Rightarrow 2y = x Rightarrow y = 12x
Assim, as inclinações das diagonais são:
  1. y = 12x (inclinação 12)
  2. y = -x (inclinação -1)
Isso nos dá uma ideia de como as diagonais estão posicionadas no plano.

Passo 4

Sabemos que um par de lados do paralelogramo é paralelo ao eixo OX, que é o eixo horizontal. Isso significa que esses lados são horizontais e têm a mesma direção. Portanto, as coordenadas dos vértices que formam esses lados terão a mesma coordenada y.
Vamos chamar esses vértices de A e D para um lado, e B e C para o outro lado paralelo.

Passo 5

Como as diagonais se bissetam no centro (0, 0), podemos expressar as coordenadas dos vértices em termos de vetores que partem do centro.
Vamos chamar os vetores das diagonais de u e v. Sabemos que a diagonal u está na direção da reta y = 12x e a diagonal v está na direção da reta y = -x.
Como as diagonais se cruzam no centro, podemos dizer que os vértices serão:
  • A = u + v
  • B = -u + v
  • C = -u - v
  • D = u - v

Passo 6

Vamos determinar os vetores u e v. Sabemos que a área do paralelogramo é dada pelo produto escalar das diagonais multiplicado pelo seno do ângulo entre elas, mas como já temos a área, podemos relacionar as magnitudes de u e v.
A área do paralelogramo também pode ser calculada pelas magnitudes das diagonais e o seno do ângulo entre elas:
Área = 12 |u| |v| sin theta Á
Sabemos que a área é 20, então podemos usar isso para encontrar a relação entre |u| e |v|.
Entretanto, para simplificar, vamos assumir que os vetores u e v têm magnitudes proporcionais às distâncias que atendem à área desejada. Isso nos ajudará a encontrar as coordenadas exatas dos vértices.

Passo 7

Considerando que as diagonais se cruzam no ponto (0, 0) e que um par de lados é paralelo ao eixo OX, vamos determinar as coordenadas dos vértices.
Vamos supor que os vértices A e C estão nas extremidades da diagonal na direção de y = 12x, e os vértices B e D estão nas extremidades da diagonal na direção de y = -x.
Então, podemos representar os vértices como:
  • A (a, 12a)
  • C (-a, -12a)
  • B (b, -b)
  • D (-b, b)

Passo 8

Sabemos que os lados AD e BC são paralelos ao eixo OX, ou seja, horizontais. Portanto, as coordenadas y de A e D devem ser iguais, assim como as de B e C.
Analisando as coordenadas:
  • A (a, 12a)
  • D (-b, b)
Para que AD seja horizontal:
12a = b
Portanto, b = 12a.

Passo 9

Agora, vamos usar a condição da área do paralelogramo. A área é dada pelo produto das magnitudes das diagonais multiplicado pelo seno do ângulo entre elas.
Primeiro, vamos encontrar as magnitudes das diagonais:
  • Diagonal AC:
|u| = raiz(a - (-a))^2 + (12a - (-12a))^2 = raiz(2a)^2 + (a)^2 = raiz4a^2 + a^2 = raiz5a^2 = araiz5
  • Diagonal BD:
|v| = raiz(b - (-b))^2 + (-b - b)^2 = raiz(2b)^2 + (-2b)^2 = raiz4b^2 + 4b^2 = raiz8b^2 = 2braiz2
Sabemos que b = 12a, então:
|v| = 2 cdot 12a cdot raiz2 = araiz2

Passo 10

Agora, vamos encontrar o ângulo theta entre as diagonais. As inclinações das diagonais são m1 = 12 e m2 = -1.
A fórmula para o seno do ângulo entre duas retas é:
tan theta = | m2 - m11 + m1 m2 |
Substituindo:
tan theta = | -1 - 121 + (12)(-1) | = | -321 - 12 | = | -3212 | = 3
Então, theta = arctan(3). Para encontrar sin theta, usamos:
sin theta = 3raiz1 + 3^2 = 3raiz10

Passo 11

Agora, usando a fórmula da área:
Área = 12 |u| |v| sin theta Á
Sabemos que a área é 20, então:
20 = 12 cdot araiz5 cdot araiz2 cdot 3raiz10 20 = 12 cdot a^2 raiz10 cdot 3raiz10 20 = 12 cdot a^2 cdot 3 20 = 32 a^2 a^2 = 403 a = raiz403 = 2raiz303

Passo 12

Agora que temos o valor de a, podemos encontrar b:
b = 12a = 12 cdot 2raiz303 = raiz303
Agora, substituímos os valores de a e b nas coordenadas dos vértices:
  • A ( 2raiz303, 12 cdot 2raiz303 ) = ( 2raiz303, raiz303 )
  • C ( -2raiz303, -12 cdot 2raiz303 ) = ( -2raiz303, -raiz303 )
  • B ( raiz303, -raiz303 )
  • D ( -raiz303, raiz303 )

Resposta

Os vértices do paralelogramo ABCD são:
  • A( dfrac2raiz303, dfracraiz303 )
  • B( dfracraiz303, -dfracraiz303 )
  • C( -dfrac2raiz303, -dfracraiz303 )
  • D( -dfracraiz303, dfracraiz303 )

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