15/05
Determine os vértices do paralelogramo ABCD sabendo que suas diagonais estão dentro das retas e , ele tem um par de lados paralelos ao eixo , e sua área é 20.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar os vértices de um paralelogramo ABCD sabendo que suas diagonais estão nas retas e . Além disso, sabemos que um par de lados é paralelo ao eixo (o eixo horizontal) e que a área do paralelogramo é 20.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades dos paralelogramos, especialmente sobre as diagonais e a área. As diagonais de um paralelogramo se bissetam, ou seja, se cortam ao meio. Também vamos usar conceitos de geometria analítica para encontrar as coordenadas dos vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção das duas diagonais. Isso porque esse ponto será o ponto médio de ambas as diagonais e, portanto, o centro do paralelogramo.
Temos as equações das diagonais:
Vamos resolver esse sistema de equações. Substituindo da segunda equação na primeira:
Então, .
Portanto, o ponto de interseção das diagonais é . Esse é o centro do nosso paralelogramo.
Passo 3
Agora, vamos entender a orientação das diagonais. As retas das diagonais são e .
Podemos reescrever a primeira equação para facilitar:
Assim, as inclinações das diagonais são:
(inclinação )
(inclinação )
Isso nos dá uma ideia de como as diagonais estão posicionadas no plano.
Passo 4
Sabemos que um par de lados do paralelogramo é paralelo ao eixo , que é o eixo horizontal. Isso significa que esses lados são horizontais e têm a mesma direção. Portanto, as coordenadas dos vértices que formam esses lados terão a mesma coordenada .
Vamos chamar esses vértices de A e D para um lado, e B e C para o outro lado paralelo.
Passo 5
Como as diagonais se bissetam no centro , podemos expressar as coordenadas dos vértices em termos de vetores que partem do centro.
Vamos chamar os vetores das diagonais de e . Sabemos que a diagonal está na direção da reta e a diagonal está na direção da reta .
Como as diagonais se cruzam no centro, podemos dizer que os vértices serão:
Passo 6
Vamos determinar os vetores e . Sabemos que a área do paralelogramo é dada pelo produto escalar das diagonais multiplicado pelo seno do ângulo entre elas, mas como já temos a área, podemos relacionar as magnitudes de e .
A área do paralelogramo também pode ser calculada pelas magnitudes das diagonais e o seno do ângulo entre elas:
Sabemos que a área é 20, então podemos usar isso para encontrar a relação entre e .
Entretanto, para simplificar, vamos assumir que os vetores e têm magnitudes proporcionais às distâncias que atendem à área desejada. Isso nos ajudará a encontrar as coordenadas exatas dos vértices.
Passo 7
Considerando que as diagonais se cruzam no ponto e que um par de lados é paralelo ao eixo , vamos determinar as coordenadas dos vértices.
Vamos supor que os vértices A e C estão nas extremidades da diagonal na direção de , e os vértices B e D estão nas extremidades da diagonal na direção de .
Então, podemos representar os vértices como:
Passo 8
Sabemos que os lados AD e BC são paralelos ao eixo , ou seja, horizontais. Portanto, as coordenadas de A e D devem ser iguais, assim como as de B e C.
Analisando as coordenadas:
Para que AD seja horizontal:
Portanto, .
Passo 9
Agora, vamos usar a condição da área do paralelogramo. A área é dada pelo produto das magnitudes das diagonais multiplicado pelo seno do ângulo entre elas.
Primeiro, vamos encontrar as magnitudes das diagonais:
Diagonal AC:
Diagonal BD:
Sabemos que , então:
Passo 10
Agora, vamos encontrar o ângulo entre as diagonais. As inclinações das diagonais são e .
A fórmula para o seno do ângulo entre duas retas é: