29/05
Achar uma equação cartesiana para a bissetriz
do ângulo
, onde
e
. Calcular o ponto
em que
corta ao segmento
. Achar uma equação paramétrica para a reta
paralela a
que passa por
.
Achar uma equação cartesiana para a bissetriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica juntos! A questão pede para encontrar a equação cartesiana da bissetriz do ângulo $ A\hat{C}B $, onde os pontos são $ A=(-4,3) $, $ B=(0,3) $ e $ C=(-4,0) $. Além disso, precisamos calcular o ponto $ D $ onde essa bissetriz corta o segmento $ AB $ e encontrar uma equação paramétrica para a reta $ s $ paralela à bissetriz $ r $ que passa por $ B $. Para resolver, vamos usar conceitos de ângulos, bissetriz, equações de retas e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os pontos dados:
- $ A = (-4, 3) $
- $ B = (0, 3) $
- $ C = (-4, 0) $
Observamos que $ A $ e $ C $ têm o mesmo valor de $ x $, o que significa que o segmento $ AC $ é vertical. Já $ B $ tem o mesmo $ y $ que $ A $, então $ AB $ é horizontal.
Passo 3
Para encontrar a bissetriz do ângulo $ A\hat{C}B $, precisamos primeiro determinar as retas que formam esse ângulo, ou seja, as retas $ CA $ e $ CB $.
A reta $ CA $ é vertical, já que ambos os pontos têm $ x = -4 $. Então, a equação de $ CA $ é simplesmente:
Agora, vamos encontrar a equação da reta $ CB $. Usando os pontos $ C = (-4, 0) $ e $ B = (0, 3) $, calculamos o coeficiente angular $ m $:
Então, a equação da reta $ CB $ é:
Substituindo o ponto $ C $ para encontrar $ b $:
Portanto:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a bissetriz do ângulo formado por essas duas retas. A bissetriz equidista das duas retas que formam o ângulo. Para encontrar a equação da bissetriz, podemos usar a fórmula da distância de um ponto $ (x, y) $ até cada uma das retas.
Para a reta $ CA $ (vertical $ x = -4 $):
Para a reta $ CB $ ($ y = \frac{3}{4}x + 3 $):
A distância de um ponto $ (x, y) $ a essa reta é:
A distância de um ponto $ (x, y) $ a essa reta é:
Igualando as distâncias para encontrar a bissetriz:
Multiplicando ambos os lados por 5:
Esse é um valor absoluto, então temos duas possibilidades:
- $ 5(x + 4) = 3x - 4y + 12 $
- $ 5(x + 4) = -(3x - 4y + 12) $
Vamos resolver a primeira equação:
A segunda equação:
Agora, precisamos determinar qual dessas duas é a bissetriz interna. Observando os pontos, percebemos que a bissetriz que estamos interessados é $ y = -\frac{1}{2}x - 2 $.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ponto $ D $ onde a bissetriz $ r $ corta o segmento $ AB $. Sabemos que $ AB $ é a reta horizontal que passa por $ A = (-4,3) $ e $ B = (0,3) $.
A equação de $ AB $ é:
Para encontrar $ D $, substituímos $ y = 3 $ na equação da bissetriz $ r $:
Resolvendo para $ x $:
Mas isso está fora do segmento $ AB $. Parece que houve um erro na identificação da bissetriz correta. Vamos verificar a outra possibilidade $ y = 2x + 8 $.
Substituindo $ y = 3 $:
Então, o ponto $ D $ é $ \left(-\frac{5}{2}, 3\right) $.
Passo 6
Por fim, precisamos achar uma equação paramétrica para a reta $ s $ paralela à bissetriz $ r $ que passa por $ B = (0,3) $.
Sabemos que a reta $ r $ tem coeficiente angular $ m = -\frac{1}{2} $. Uma reta paralela terá o mesmo coeficiente angular.
A equação paramétrica de uma reta é dada por:
onde $ (x_0, y_0) $ é um ponto na reta e $ (a, b) $ é um vetor diretor.
Como $ m = -\frac{1}{2} $, podemos escolher $ a = 2 $ e $ b = -1 $ (pois $ \frac{b}{a} = -\frac{1}{2} $).
Então, usando o ponto $ B = (0,3) $:
Resposta
A equação cartesiana da bissetriz $ r $ é $ y = 2x + 8 $. O ponto $ D $ onde $ r $ corta o segmento $ AB $ é $ \left(-\frac{5}{2}, 3\right) $. A equação paramétrica da reta $ s $ paralela a $ r $ que passa por $ B $ é: