29/05
Achar uma equação cartesiana para a bissetriz r do ângulo A C B, onde A= (-4,3), B=(0,3) e C=(-4,0). Calcular o ponto D em que r corta ao segmento A B. Achar uma equação paramétrica para a reta s paralela a r que passa por B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica juntos! A questão pede para encontrar a equação cartesiana da bissetriz do ângulo $ A\hat{C}B $, onde os pontos são $ A=(-4,3) $, $ B=(0,3) $ e $ C=(-4,0) $. Além disso, precisamos calcular o ponto $ D $ onde essa bissetriz corta o segmento $ AB $ e encontrar uma equação paramétrica para a reta $ s $ paralela à bissetriz $ r $ que passa por $ B $. Para resolver, vamos usar conceitos de ângulos, bissetriz, equações de retas e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os pontos dados:
  • $ A = (-4, 3) $
  • $ B = (0, 3) $
  • $ C = (-4, 0) $
Observamos que $ A $ e $ C $ têm o mesmo valor de $ x $, o que significa que o segmento $ AC $ é vertical. Já $ B $ tem o mesmo $ y $ que $ A $, então $ AB $ é horizontal.

Passo 3

Para encontrar a bissetriz do ângulo $ A\hat{C}B $, precisamos primeiro determinar as retas que formam esse ângulo, ou seja, as retas $ CA $ e $ CB $.
A reta $ CA $ é vertical, já que ambos os pontos têm $ x = -4 $. Então, a equação de $ CA $ é simplesmente:
ACB
Agora, vamos encontrar a equação da reta $ CB $. Usando os pontos $ C = (-4, 0) $ e $ B = (0, 3) $, calculamos o coeficiente angular $ m $:
CA
Então, a equação da reta $ CB $ é:
CB
Substituindo o ponto $ C $ para encontrar $ b $:
CA
Portanto:
x = -4

Passo 4

Agora, queremos encontrar a bissetriz do ângulo formado por essas duas retas. A bissetriz equidista das duas retas que formam o ângulo. Para encontrar a equação da bissetriz, podemos usar a fórmula da distância de um ponto $ (x, y) $ até cada uma das retas.
Para a reta $ CA $ (vertical $ x = -4 $):
(x, y) â
Para a reta $ CB $ ($ y = \frac{3}{4}x + 3 $):
A distância de um ponto $ (x, y) $ a essa reta é:
CA
Igualando as distâncias para encontrar a bissetriz:
x = -4
Multiplicando ambos os lados por 5:
Distância = |x + 4|
Esse é um valor absoluto, então temos duas possibilidades:
  1. $ 5(x + 4) = 3x - 4y + 12 $
  2. $ 5(x + 4) = -(3x - 4y + 12) $
Vamos resolver a primeira equação:
CB
y = 34x + 3
(x, y)
A segunda equação:
|34x - y + 3|raiz(34)^2 + (-1)^2 = |3x - 4y + 12|5
|x + 4| = |3x - 4y + 12|5
5|x + 4| = |3x - 4y + 12|
Agora, precisamos determinar qual dessas duas é a bissetriz interna. Observando os pontos, percebemos que a bissetriz que estamos interessados é $ y = -\frac{1}{2}x - 2 $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ponto $ D $ onde a bissetriz $ r $ corta o segmento $ AB $. Sabemos que $ AB $ é a reta horizontal que passa por $ A = (-4,3) $ e $ B = (0,3) $.
A equação de $ AB $ é:
D
Para encontrar $ D $, substituímos $ y = 3 $ na equação da bissetriz $ r $:
r
Resolvendo para $ x $:
AB
AB
Mas isso está fora do segmento $ AB $. Parece que houve um erro na identificação da bissetriz correta. Vamos verificar a outra possibilidade $ y = 2x + 8 $.
Substituindo $ y = 3 $:
A = (-4,3)
B = (0,3)
AB
Então, o ponto $ D $ é $ \left(-\frac{5}{2}, 3\right) $.

Passo 6

Por fim, precisamos achar uma equação paramétrica para a reta $ s $ paralela à bissetriz $ r $ que passa por $ B = (0,3) $.
Sabemos que a reta $ r $ tem coeficiente angular $ m = -\frac{1}{2} $. Uma reta paralela terá o mesmo coeficiente angular.
A equação paramétrica de uma reta é dada por:
s
onde $ (x_0, y_0) $ é um ponto na reta e $ (a, b) $ é um vetor diretor.
Como $ m = -\frac{1}{2} $, podemos escolher $ a = 2 $ e $ b = -1 $ (pois $ \frac{b}{a} = -\frac{1}{2} $).
Então, usando o ponto $ B = (0,3) $:
r

Resposta

A equação cartesiana da bissetriz $ r $ é $ y = 2x + 8 $. O ponto $ D $ onde $ r $ corta o segmento $ AB $ é $ \left(-\frac{5}{2}, 3\right) $. A equação paramétrica da reta $ s $ paralela a $ r $ que passa por $ B $ é:
r

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