Use o método iterativo de Gauss-Seidel para resolver o seguinte sistema até o erro relativo percentu ficar abaixo de \varepsilon=5 \% : (vale 20 \% da nota da prova)
5 x_{1}+x_{2}+x_{3}=5
3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=6
3 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}=0
x^{(0)}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 5x_{1}+x_{2}+x_{3}=5,\\\\ 3x_{1}+4x_{2}+x_{3}=6,\\\\ 3x_{1}+3x_{2}+6x_{3}=0, \end{cases}
usando o método de Gauss–Seidel até que o erro percentual relativo em cada variável seja menor que \varepsilon=5\%. Vamos iterar a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^T.

Passo 2

As fórmulas de iteração de Gauss–Seidel são, para k\ge0:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(5 - x_{2}^{(k)} - x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{4}\bigl(6 - 3\,x_{1}^{(k+1)} - x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{6}\bigl(-3\,x_{1}^{(k+1)} - 3\,x_{2}^{(k+1)}\bigr).

Passo 3

Iteração k=0\to1:
x_{1}^{(1)}=\frac{1}{5}(5-0-0)=1,\quad x_{2}^{(1)}=\frac{1}{4}(6-3\cdot1-0)=0,75,\quad x_{3}^{(1)}=\frac{1}{6}(-3\cdot1-3\cdot0,75)=-0,875.
Não computamos erro relativo nesta primeira iteração pois o valor anterior é zero.

Passo 4

Iteração k=1\to2:
x_{1}^{(2)}=\frac{1}{5}\bigl(5-0,75-(-0,875)\bigr)=1,025,
x_{2}^{(2)}=\frac{1}{4}\bigl(6-3\cdot1,025+0,875\bigr)=0,95,
x_{3}^{(2)}=\frac{1}{6}\bigl(-3\cdot1,025-3\cdot0,95\bigr)=-0,9875.
Erros relativos percentuais:
e_{a1}\approx\frac{|1{,}025-1|}{|1{,}025|}\times100\%\approx2,44\%,\quad e_{a2}\approx21,05\%,\quad e_{a3}\approx11,39\%.
Como 21{,}05\%>5\%, continuamos.

Passo 5

Iteração k=2\to3:
x_{1}^{(3)}=\frac{1}{5}\bigl(5-0,95-(-0,9875)\bigr)=1,0075,
x_{2}^{(3)}=\frac{1}{4}\bigl(6-3\cdot1,0075+0,9875\bigr)=0,99125,
x_{3}^{(3)}=\frac{1}{6}\bigl(-3\cdot1,0075-3\cdot0,99125\bigr)=-0,999375.
Erros relativos percentuais:
e_{a1}\approx1,74\%,\quad e_{a2}\approx4,16\%,\quad e_{a3}\approx1,19\%,
todos abaixo de 5\%. A tolerância foi atingida.

Resposta

A aproximação obtida é
x^{(3)}=\begin{pmatrix} 1,0075\\\\ 0,99125\\\\ -0,999375 \end{pmatrix},
com erro percentual relativo inferior a 5\%.

Exercícios relacionados