Nome do aluno: | Matrícula: | | |
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias | | | |
Data da prova: Data da entrega conforme calendário específico. | Peso prova: 10,0 | Nota obtida: | |
Resolva a equação diferencial separável:
y^prime=-t^2+2y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável juntos! O enunciado que temos é:
y' = -t^2 + 2y
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais ordinárias que são separáveis. Isso significa que conseguimos separar os termos que envolvem y dos que envolvem t e, assim, integrar ambos os lados para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa y' . Isso é a derivada de y em relação a t , ou seja, dydt .
Então, podemos reescrever a equação como:
dydt = -t^2 + 2y

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis y e t . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por y e por dt :
y , dy = - (t^2 + 2) , dt
Assim, conseguimos isolar os termos com y de um lado e os termos com t do outro.

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados:
integral y , dy = integral - (t^2 + 2) , dt
Isso nos leva a integrar cada lado da equação.

Passo 5

Vamos integrar o lado esquerdo:
integral y , dy = y^22 + C1
E o lado direito:
integral - (t^2 + 2) , dt = -t^33 - 2t + C2
Aqui, C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 6

Juntando as integrações, temos:
y^22 + C1 = -t^33 - 2t + C2
Podemos simplificar as constantes de integração combinando C1 e C2 em uma única constante C :
y^22 = -t^33 - 2t + C

Passo 7

Para resolver em termos de y , multiplicamos tudo por 2:
y^2 = -2t^33 - 4t + 2C
Podemos chamar 2C de apenas C (já que ainda é uma constante arbitrária):
y^2 = -2t^33 - 4t + C

Passo 8

Finalmente, isolamos y tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
y = pm raiz -2t^33 - 4t + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = pm raiz -2t^33 - 4t + C
onde C é uma constante arbitrária.

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