Nome do aluno: | Matrícula: | | |
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias | | | |
Data da prova: Data da entrega conforme calendário específico. | Peso prova: 10,0 | Nota obtida: | |
Resolva a equação diferencial separável:
Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias | | | |
Data da prova: Data da entrega conforme calendário específico. | Peso prova: 10,0 | Nota obtida: | |
Resolva a equação diferencial separável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial separável juntos! O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais ordinárias que são separáveis. Isso significa que conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
e, assim, integrar ambos os lados para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso é a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 3
Agora, queremos separar as variáveis
e
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados por
e por
:
Assim, conseguimos isolar os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados:
Isso nos leva a integrar cada lado da equação.
Passo 5
Vamos integrar o lado esquerdo:
E o lado direito:
Aqui,
e
são constantes de integração.
Passo 6
Juntando as integrações, temos:
Podemos simplificar as constantes de integração combinando
e
em uma única constante
:
Passo 7
Para resolver em termos de
, multiplicamos tudo por 2:
Podemos chamar
de apenas
(já que ainda é uma constante arbitrária):
Passo 8
Finalmente, isolamos
tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.