05 . Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x)=2 x^3-3 x^2-12 x+5.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
f(x)=2x^3-3x^2-12x+5
é crescente ou decrescente.
Conteúdo: derivada de uma função polinomial e análise do sinal da derivada.

Passo 2

Calculemos a derivada f'(x) para depois estudar onde ela é positiva ou negativa.
f'(x)=ddxl(2x^3-3x^2-12x+5r) =6x^2-6x-12

Passo 3

Fatiornando f'(x) para encontrar pontos críticos:
f'(x)=6l(x^2-x-2r) =6,(x-2),(x+1)
Os zeros de f' são as soluções de (x-2)(x+1)=0, ou seja
x=-1 e x=2

Passo 4

Agora fazemos um diagrama de sinais de f'(x)=6(x-2)(x+1). Como o fator 6 é sempre positivo, só importa o sinal de (x-2)(x+1):
  • Para x< -1: temos (x-2)<0 e (x+1)<0, logo (x-2)(x+1)>0, ou seja f'(x)>0.
  • Para -1<x<2: temos (x-2)<0 e (x+1)>0, logo (x-2)(x+1)<0, ou seja f'(x)<0.
  • Para x>2: temos (x-2)>0 e (x+1)>0, logo (x-2)(x+1)>0, ou seja f'(x)>0.

Resposta

A função é crescente em (-infty,-1) e em (2,infty), e é decrescente em (-1,2).

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