Considere a equação cartesiana x^2+2 y+y^2=0, represente essa equação em coordenada polares, e faça o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever em coordenadas polares a curva dada por
x^2+2y+y^2=0
e depois esboçar o gráfico. Vamos usar as relações de mudança de variáveis
x = rcostheta, y = rsintheta,
com r>=0 e theta livre, para obter a equação em (r,theta).

Passo 2

Substituindo x = rcostheta e y = rsintheta em
x^2+2y+y^2=0
temos
(rcostheta)^2 + 2(rsintheta) + (rsintheta)^2 = 0
ou seja
r^2cos^2theta + r^2sin^2theta + 2rsintheta = 0

Passo 3

Como cos^2theta+sin^2theta=1, a soma dos dois primeiros termos vira r^2. Logo
r^2 + 2rsintheta = 0 Longrightarrow r,(r + 2sintheta) = 0
Isso dá as duas soluções em polares:
r = 0 ou r = -2sintheta

Passo 4

A solução r=0 é apenas o ponto na origem. A curva não-trivial é
r = -2sintheta
Para entender melhor o que isso é em coordenadas cartesianas, completamos quadrado na equação original:
x^2+2y+y^2 = x^2 + (y+1)^2 - 1 = 0 Longrightarrow x^2 + (y+1)^2 = 1
Portanto a curva é um círculo de raio 1 e centro em (0,-1).

Passo 5

Para traçar o círculo em polares, note que r=-2sintheta só dá r>=0 quando sintheta<=0, ou seja thetain[pi,2pi]; isso percorre exatamente o círculo x^2+(y+1)^2=1.

Resposta

Em coordenadas polares a curva é
r = -2sintheta
O gráfico é o círculo de equação
x^2+(y+1)^2=1,
isto é, raio 1 e centro em (0,-1).

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