1. Analise onde f(x)=e^-x^2 é crescente ou decrescente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
f(x)=e^-x^2
é crescente ou decrescente. O conteúdo usado será derivada e análise de sinal da derivada.

Passo 2

Vamos calcular a derivada f'(x) usando a regra da cadeia. Se u(x)=-x^2, então u'(x)=-2x e
f'(x)=ddxe^u(x)=e^u(x)cdot u'(x)=e^-x^2cdot(-2x)=-2x,e^-x^2
Note que e^-x^2>0 para todo x.

Passo 3

Como e^-x^2 é sempre positivo, o sinal de f'(x) vem de -2x. Assim:
  • f'(x)>0 se e somente se -2x>0, ou seja x<0.
  • f'(x)<0 se e somente se -2x<0, ou seja x>0.
    Em x=0 temos f'(0)=0, ponto crítico.

Passo 4

Portanto a função é crescente sempre que x<0 e decrescente sempre que x>0.

Resposta

A função f(x)=e^-x^2 é crescente em (-infty,0) e decrescente em (0,infty).

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