(05) Duas bobinas separadas por uma distância R igual ao seu raio comum e percorridas por correntes de mesma intensidade e sentido são conhecidas como bobinas de Helmholtz. Uma característica desse arranjo é que o campo magnético resultante entre as bobinas é extremamente uniforme. Suponha \mathrm{R}=10 \mathrm{~cm}, \mathrm{I}=20 \mathrm{~A} \mathrm{e} \mathrm{N}=300 espiras para as duas bobinas. Uma das bobinas está no plano yz, com centro na origem, e a outra em um plano paralelo ao primeiro, passando pelo ponto \mathrm{x}=10 \mathrm{~cm}. (a) Calcule o campo resultante \mathrm{B}_{\mathrm{x}}. (b) Faça um gráfico de B_{x} em função de x / R.

Passo 1

O enunciado dá um arranjo de duas bobinas de Helmholtz com as seguintes informações que preciso usar:
R=10\\ \text{cm}=0,10\\ \text{m},\qquad I=20\\ \text{A},\qquad N=300\\ \text{espiras}
As bobinas têm raio igual a R e estão separadas por uma distância igual a R. Uma bobina tem centro em x=0 (plano yz) e a outra tem centro em x=R. O que o enunciado pede:
(a) calcular o campo magnético resultante B_x no eixo x (isto é, obter a expressão de B_x como função de x e, quando apropriado, fazer a substituição numérica);
(b) apresentar um gráfico de B_x em função de x/R.
Aqui eu uso coordenada x medida ao longo do eixo que passa pelos centros das duas bobinas (o eixo das bobinas).

Passo 2

Fórmula do campo axial de uma espira circular (revisão didática). Pelo resultado do Biot–Savart para uma espira circular de raio a, com N voltas e corrente I, o componente do campo ao longo do eixo que passa pelo centro da espira, a uma distância d do centro, vale:
B_{\text{espira}}(d) = \frac{\mu_0\,N I\,a^2}{2\bigl(d^2+a^2\bigr)^{3/2}}.
Explicando a fórmula (passo a passo e sem pular etapas):
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • N é o número de espiras; se for uma única espira, N=1.
  • I é a corrente que percorre a espira.
  • a é o raio da espira.
  • d é a distância do ponto (no eixo) até o centro da espira.
    A forma \bigl(d^2+a^2\bigr)^{3/2} aparece porque a contribuição de cada elemento de corrente decai com a distância e há uma componente axial resultante; o fator a^2 no numerador vem da geometria da espira.

Passo 3

Aplicando superposição para as duas bobinas. Cada bobina tem raio a=R. A primeira está centrada em x=0 e a segunda em x=R. Para um ponto de coordenada x no eixo, as distâncias ao centro de cada bobina são:
d_1 = x-0 = x,\qquad d_2 = x-R.
Somando as contribuições das duas bobinas (mesma corrente e mesmo sentido), o campo resultante no ponto x é
B_x(x)=\frac{\mu_0 N I R^2}{2}\left[\frac{1}{\bigl(x^2+R^2\bigr)^{3/2}}+\frac{1}{\bigl((x-R)^2+R^2\bigr)^{3/2}}\right].
Isto é a expressão analítica procurada; é só aplicar valores numéricos agora.

Passo 4

Simplificar em termos adimensionais (útil para o gráfico). Defino a variável adimensional
u=\frac{x}{R}.
Substituindo x=uR na expressão de B_x obtemos, após fatorar R,
B_x(u)=\frac{\mu_0 N I}{2R}\left[\frac{1}{\bigl(1+u^2\bigr)^{3/2}}+\frac{1}{\bigl(1+(u-1)^2\bigr)^{3/2}}\right].
Essa forma é boa para traçar B_x em função de x/R (ou seja, de u): a dependência espacial está toda nos termos adimensionais dentro dos colchetes, e o prefator \dfrac{\mu_0 N I}{2R} dá a escala do campo.

Passo 5

Calcular o fator numérico \dfrac{\mu_0 N I}{2R} passo a passo com os números dados:
\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m},\qquad N I = 300\times20 = 6000,\qquad R=0,10\\ \mathrm{m}.
Primeiro calcule \mu_0 N I:
\mu_0 N I = 4\pi\times10^{-7}\times6000 = 4\pi\times6\times10^{-4} \approx 1,25663706\times10^{-6}\times6000 \approx 7,53982236\times10^{-3}.
Agora dividir por 2R:
\frac{\mu_0 N I}{2R}=\frac{7,53982236\times10^{-3}}{2\times0,10}=\frac{7,53982236\times10^{-3}}{0,20}\approx 0,0376991118\\ \text{T}.
Arredondando de forma prática:
\frac{\mu_0 N I}{2R}\approx 0,0376991\\ \text{T}.
Portanto a expressão numérica pronta é
B_x(u)\approx 0,0376991\left[\frac{1}{\bigl(1+u^2\bigr)^{3/2}}+\frac{1}{\bigl(1+(u-1)^2\bigr)^{3/2}}\right]\\ \text{(tesla)}.

Passo 6

Calcular alguns pontos para fazer o gráfico B_x versus u=x/R e mostrar a uniformidade no meio. Vou avaliar para u=-1,\,-0,5,\,0,\,0,25,\,0,5,\,0,75,\,1,\,1,5,\,2. Uso a função
g(t)=\frac{1}{\bigl(1+t^2\bigr)^{3/2}},\qquad B_x(u)=0,0376991\bigl[g(u)+g(u-1)\bigr].
Cálculos (apresento valores com 5 casas significativas):
\begin{aligned} u=-1 &\Rightarrow B_x\approx 0,016701\\ \text{T},\\\ u=-0,5 &\Rightarrow B_x\approx 0,03343\\ \text{T},\\\ u=0 &\Rightarrow B_x\approx 0,05103\\ \text{T},\\\ u=0,25 &\Rightarrow B_x\approx 0,05374\\ \text{T},\\\ u=0,5 &\Rightarrow B_x\approx 0,05394\\ \text{T}\quad\text{(ponto médio entre as bobinas)},\\\ u=0,75 &\Rightarrow B_x\approx 0,05374\\ \text{T},\\\ u=1 &\Rightarrow B_x\approx 0,05103\\ \text{T},\\\ u=1,5 &\Rightarrow B_x\approx 0,03343\\ \text{T},\\\ u=2 &\Rightarrow B_x\approx 0,016701\\ \text{T}. \end{aligned}é
Observações didáticas:
  • Note que o perfil é simétrico em torno de u=0,5 (o ponto médio entre as bobinas), como esperado por simetria do sistema.
  • Entre u=0,25 e u=0,75 o campo varia muito pouco (cerca de 0,05374 a 0,05394\\ \text{T}), isso mostra a região de campo praticamente uniforme típica de bobinas de Helmholtz.
  • Para traçar o gráfico, plote os pares \bigl(u,\;B_x(u)\bigr) do conjunto de pontos acima; o gráfico tem um platô largo em torno de u=0,5 e decai quando sai dessa região.

Passo 7

Instruções rápidas para desenhar o gráfico (prático para prova): use o eixo horizontal u=x/R indo, por exemplo, de -1 a 2. No eixo vertical coloque B_x em tesla; marque o valor máximo aproximado 0,054\\ \text{T} próximo a u=0,5. Ligue os pontos calculados do Passo 6 com uma curva suave e simétrica; você verá claramente o platô central (campo uniforme) e as quedas para as extremidades. Se quiser, em prova basta desenhar a curva passando pelos pontos indicados e destacando que B_x(0,5)\approx0,05394\\ \text{T}.

Resposta

(a) B_x(x)=\frac{\mu_0 N I R^2}{2}\left[\frac{1}{\bigl(x^2+R^2\bigr)^{3/2}}+\frac{1}{\bigl((x-R)^2+R^2\bigr)^{3/2}}\right]
ou, em forma adimensional u=x/R,
B_x(u)\approx 0,0376991\left[\frac{1}{\bigl(1+u^2\bigr)^{3/2}}+\frac{1}{\bigl(1+(u-1)^2\bigr)^{3/2}}\right]\\ \text{T}.
(b) Valores para o gráfico B_x versus x/R (tesla):
\begin{aligned} u=-1 &:\\\ 0,016701\\ \text{T},\\\ u=-0,5 &:\\\ 0,03343\\ \text{T},\\\ u=0 &:\\\ 0,05103\\ \text{T},\\\ u=0,25 &:\\\ 0,05374\\ \text{T},\\\ u=0,5 &:\\\ 0,05394\\ \text{T},\\\ u=0,75 &:\\\ 0,05374\\ \text{T},\\\ u=1 &:\\\ 0,05103\\ \text{T},\\\ u=1,5 &:\\\ 0,03343\\ \text{T},\\\ u=2 &:\\\ 0,016701\\ \text{T}. \end{aligned}

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