(05) Duas bobinas separadas por uma distância
igual ao seu raio comum e percorridas por correntes de mesma intensidade e sentido são conhecidas como bobinas de Helmholtz. Uma característica desse arranjo é que o campo magnético resultante entre as bobinas é extremamente uniforme. Suponha
espiras para as duas bobinas. Uma das bobinas está no plano yz, com centro na origem, e a outra em um plano paralelo ao primeiro, passando pelo ponto
. (a) Calcule o campo resultante
. (b) Faça um gráfico de
em função de
.
Passo 1
O enunciado dá um arranjo de duas bobinas de Helmholtz com as seguintes informações que preciso usar:
As bobinas têm raio igual a
e estão separadas por uma distância igual a
. Uma bobina tem centro em
(plano
) e a outra tem centro em
. O que o enunciado pede:
(a) calcular o campo magnético resultante no eixo
(isto é, obter a expressão de
como função de
e, quando apropriado, fazer a substituição numérica);
(b) apresentar um gráfico de em função de
.
Aqui eu uso coordenada medida ao longo do eixo que passa pelos centros das duas bobinas (o eixo das bobinas).
(a) calcular o campo magnético resultante
(b) apresentar um gráfico de
Aqui eu uso coordenada
Passo 2
Fórmula do campo axial de uma espira circular (revisão didática). Pelo resultado do Biot–Savart para uma espira circular de raio
, com
voltas e corrente
, o componente do campo ao longo do eixo que passa pelo centro da espira, a uma distância
do centro, vale:
Explicando a fórmula (passo a passo e sem pular etapas):
-
é a permeabilidade do vácuo, . -
é o número de espiras; se for uma única espira, . -
é a corrente que percorre a espira. -
é o raio da espira. -
é a distância do ponto (no eixo) até o centro da espira.
A formaaparece porque a contribuição de cada elemento de corrente decai com a distância e há uma componente axial resultante; o fator no numerador vem da geometria da espira.
Passo 3
Aplicando superposição para as duas bobinas. Cada bobina tem raio
. A primeira está centrada em
e a segunda em
. Para um ponto de coordenada
no eixo, as distâncias ao centro de cada bobina são:
Somando as contribuições das duas bobinas (mesma corrente e mesmo sentido), o campo resultante no ponto
é
Isto é a expressão analítica procurada; é só aplicar valores numéricos agora.
Passo 4
Simplificar em termos adimensionais (útil para o gráfico). Defino a variável adimensional
Substituindo
na expressão de
obtemos, após fatorar
,
Essa forma é boa para traçar
em função de
(ou seja, de
): a dependência espacial está toda nos termos adimensionais dentro dos colchetes, e o prefator
dá a escala do campo.
Passo 5
Calcular o fator numérico
passo a passo com os números dados:
Primeiro calcule
:
Agora dividir por
:
Arredondando de forma prática:
Portanto a expressão numérica pronta é
Passo 6
Calcular alguns pontos para fazer o gráfico
versus
e mostrar a uniformidade no meio. Vou avaliar para
. Uso a função
Cálculos (apresento valores com 5 casas significativas):
Observações didáticas:
- Note que o perfil é simétrico em torno de
(o ponto médio entre as bobinas), como esperado por simetria do sistema. - Entre
e o campo varia muito pouco (cerca de a ), isso mostra a região de campo praticamente uniforme típica de bobinas de Helmholtz. - Para traçar o gráfico, plote os pares
do conjunto de pontos acima; o gráfico tem um platô largo em torno de e decai quando sai dessa região.
Passo 7
Instruções rápidas para desenhar o gráfico (prático para prova): use o eixo horizontal
indo, por exemplo, de
a
. No eixo vertical coloque
em tesla; marque o valor máximo aproximado
próximo a
. Ligue os pontos calculados do Passo 6 com uma curva suave e simétrica; você verá claramente o platô central (campo uniforme) e as quedas para as extremidades. Se quiser, em prova basta desenhar a curva passando pelos pontos indicados e destacando que
.
Resposta
(a)
ou, em forma adimensional
,
(b) Valores para o gráfico
versus
(tesla):