Seja um SLCIT representado por (D+4) y(t)=2 x(t), sendo x(t) o sinal de entrada e y(t) o sinal de saída. Encontre a representação em série de Fourier da Saída do Sistema y(t), considerando x(t)=2+2 \cos \left(4 t-\frac{\pi}{4}\right). Justifique sua resposta
Passo 1
O enunciado nos dá:
Equação diferencial do sistema linear invariante: (D+4)\,y(t)=2\,x(t).
Sinal de entrada: x(t)=2+2\cos\!\left(4t-\tfrac{\pi}{4}\right).
O que é pedido:
Encontrar a representação em série de Fourier da saída y(t).
Informações importantes tiradas do enunciado:
O sistema é linear e invariante no tempo (SLCIT) e é de primeira ordem.
O sinal x(t) é periódico; seu período é T=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}, logo a frequência angular fundamental é \omega_0=4.
Não foram dadas condições iniciais; portanto, a série de Fourier que se pede refere-se à resposta periódica (estado estacionário). (Obs.: a solução geral teria também um termo transitório que decai como e^{-4t}.)
Passo 2
Obter a resposta em frequência (função de transferência) do sistema — isto é a ferramenta que conecta harmônicos de entrada aos harmônicos de saída.
O operador D representa derivação: D y(t)=\dfrac{d}{dt}y(t).
Para entradas harmônicas e^{j\omega t} num SLCIT, a resposta em frequência é obtida substituindo D por j\omega. Assim, a função de transferência (razão Y/X em regime fasorial) é
Explanação curta do que isto significa: se a entrada for x(t)=e^{j\omega t}, a saída particular (estado estacionário) é y(t)=H(j\omega)e^{j\omega t}. Para combinações lineares de exponenciais complexas, cada termo é multiplicado por H na sua frequência.
Passo 3
Determinar os coeficientes da série de Fourier complexa de x(t).
A frequência fundamental é \omega_0=4.
Escrevendo x(t) como soma de exponenciais complexas:
x(t)=2 + 2\cos\!\left(4t-\tfrac{\pi}{4}\right).
Usando a identidade \cos(\theta)=\tfrac{1}{2}\big(e^{j\theta}+e^{-j\theta}\big),
Usar a propriedade de linearidade e invariância em frequência: cada coeficiente de entrada é multiplicado por H(j\omega) avaliado na frequência correspondente.
Quando passarmos para a forma real (soma de cossenos), o termo complexo Y_1e^{j4t}+Y_{-1}e^{-j4t} dá 2|Y_1|\cos(4t+\arg Y_1). Então a amplitude real do cosseno será 2|Y_1|=\dfrac{1}{\sqrt{2}} e a fase será \arg Y_1=-\dfrac{\pi}{2}.
Observação rápida de verificação alternativa (mais direta): multiplicando a amplitude do cosseno de entrada (que é 2) pelo módulo de H(j4):
\text{amplitude de saída} = 2\cdot |H(j4)| = 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},í
e a fase total é soma da fase de H(j4) (que é -\tfrac{\pi}{4}) com a fase da entrada (-\tfrac{\pi}{4}), resultando em -\tfrac{\pi}{2}. Isso bate com o cálculo anterior.
Passo 6
Montar a série de Fourier (forma real) da saída y(t) no estado estacionário.
O termo DC: Y_0=1.
O termo de primeira harmônica: amplitude A=1/\sqrt{2} e fase -\tfrac{\pi}{2}. Portanto
Observação (didática e prática): pode-se também escrever \cos(4t-\tfrac{\pi}{2})=\sin(4t), logo uma forma equivalente é
y(t)=1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(4t).
Lembrete final: essa expressão é a resposta periódica (regime estacionário). A solução completa da EDO teria, além disso, uma solução homogênea proporcional a e^{-4t} que decai com o tempo e depende das condições iniciais; por isso, se forem consideradas condições iniciais nulas, o termo transitório é zero e a expressão dada é a saída total.