1. Seja um SLCIT representado por (D+4) y(t)=2 x(t), sendo x(t) o sinal de entrada e y(t) o sinal de saída. Encontre a representação em série de Fourier da Saída do Sistema y(t), considerando x(t)=2+2 \cos \left(4 t-\frac{\pi}{4}\right). Justifique sua resposta

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Equação diferencial do sistema linear invariante: (D+4)\,y(t)=2\,x(t).
  • Sinal de entrada: x(t)=2+2\cos\!\left(4t-\tfrac{\pi}{4}\right).
    O que é pedido:
  • Encontrar a representação em série de Fourier da saída y(t).
    Informações importantes tiradas do enunciado:
  • O sistema é linear e invariante no tempo (SLCIT) e é de primeira ordem.
  • O sinal x(t) é periódico; seu período é T=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}, logo a frequência angular fundamental é \omega_0=4.
  • Não foram dadas condições iniciais; portanto, a série de Fourier que se pede refere-se à resposta periódica (estado estacionário). (Obs.: a solução geral teria também um termo transitório que decai como e^{-4t}.)

Passo 2

Obter a resposta em frequência (função de transferência) do sistema — isto é a ferramenta que conecta harmônicos de entrada aos harmônicos de saída.
  • O operador D representa derivação: D y(t)=\dfrac{d}{dt}y(t).
  • Para entradas harmônicas e^{j\omega t} num SLCIT, a resposta em frequência é obtida substituindo D por j\omega. Assim, a função de transferência (razão Y/X em regime fa­sorial) é
H(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}=\frac{2}{j\omega+4}.
Explanação curta do que isto significa: se a entrada for x(t)=e^{j\omega t}, a saída particular (estado estacionário) é y(t)=H(j\omega)e^{j\omega t}. Para combinações lineares de exponenciais complexas, cada termo é multiplicado por H na sua frequência.

Passo 3

Determinar os coeficientes da série de Fourier complexa de x(t).
  • A frequência fundamental é \omega_0=4.
  • Escrevendo x(t) como soma de exponenciais complexas:
x(t)=2 + 2\cos\!\left(4t-\tfrac{\pi}{4}\right).
Usando a identidade \cos(\theta)=\tfrac{1}{2}\big(e^{j\theta}+e^{-j\theta}\big),
2\cos\!\left(4t-\tfrac{\pi}{4}\right)= e^{-j\pi/4}e^{j4t} + e^{j\pi/4}e^{-j4t}.
Portanto, os coeficientes complexos X_k (para \omega_k=k\omega_0) são:
X_0 = 2,\qquad X_1 = e^{-j\pi/4},\qquad X_{-1}=e^{j\pi/4},
e X_k=0 para |k|\ge2.

Passo 4

Usar a propriedade de linearidade e invariância em frequência: cada coeficiente de entrada é multiplicado por H(j\omega) avaliado na frequência correspondente.
  • Para o termo DC ( k=0, \omega=0):
Y_0 = H(j0)\,X_0 = \frac{2}{0+4}\cdot 2 = \frac{2}{4}\cdot 2 = 1.
  • Para k=1 ( \omega=4):
Y_1 = H(j4)\,X_1 = \frac{2}{4+j4}\,e^{-j\pi/4}.
  • Para k=-1:
Y_{-1}=H(-j4)\,X_{-1} = \overline{Y_1}\quad(\text{porque }x(t)\text{ é real e }H(-j\omega)=\overline{H(j\omega)}).é

Passo 5

Calcular explicitamente H(j4) e simplificar Y_1 para obter amplitude e fase do harmônico.
  • Calcular H(j4):
H(j4)=\frac{2}{4+j4}=\frac{2}{4(1+j)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+j}.
  • Escrever 1/(1+j) em forma polar: 1+j=\sqrt{2}\,e^{j\pi/4}, então
\frac{1}{1+j}=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/4}.
Logo
H(j4)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/4}=\frac{1}{2\sqrt{2}}e^{-j\pi/4}.
  • Multiplicando por X_1=e^{-j\pi/4}:
Y_1=H(j4)X_1=\frac{1}{2\sqrt{2}}e^{-j\pi/4}\cdot e^{-j\pi/4} =\frac{1}{2\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}.
  • Magnitude e fase de Y_1:
|Y_1|=\frac{1}{2\sqrt{2}},\qquad \arg(Y_1)=-\frac{\pi}{2}.
Quando passarmos para a forma real (soma de cossenos), o termo complexo Y_1e^{j4t}+Y_{-1}e^{-j4t} 2|Y_1|\cos(4t+\arg Y_1). Então a amplitude real do cosseno será 2|Y_1|=\dfrac{1}{\sqrt{2}} e a fase será \arg Y_1=-\dfrac{\pi}{2}.
Observação rápida de verificação alternativa (mais direta): multiplicando a amplitude do cosseno de entrada (que é 2) pelo módulo de H(j4):
\text{amplitude de saída} = 2\cdot |H(j4)| = 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}},í
e a fase total é soma da fase de H(j4) (que é -\tfrac{\pi}{4}) com a fase da entrada ( -\tfrac{\pi}{4}), resultando em -\tfrac{\pi}{2}. Isso bate com o cálculo anterior.

Passo 6

Montar a série de Fourier (forma real) da saída y(t) no estado estacionário.
  • O termo DC: Y_0=1.
  • O termo de primeira harmônica: amplitude A=1/\sqrt{2} e fase -\tfrac{\pi}{2}. Portanto
y(t)=1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\!\left(4t-\frac{\pi}{2}\right).
Observação (didática e prática): pode-se também escrever \cos(4t-\tfrac{\pi}{2})=\sin(4t), logo uma forma equivalente é
y(t)=1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(4t).
Lembrete final: essa expressão é a resposta periódica (regime estacionário). A solução completa da EDO teria, além disso, uma solução homogênea proporcional a e^{-4t} que decai com o tempo e depende das condições iniciais; por isso, se forem consideradas condições iniciais nulas, o termo transitório é zero e a expressão dada é a saída total.

Resposta

y(t)=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos\!\left(4t-\dfrac{\pi}{2}\right)

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