- Seja um sinal periódico
, com seus coeficientes não nulos da série exponencial de Fourier dados por:
. Identifique o valor médio e o periodo fundamental do sinal e represente o na forma abaixo. Assuma que a frequência da
harmônica é
.
Passo 1
O enunciado fornece os coeficientes não nulos (na forma exponencial) e pede três coisas: (i) o valor médio do sinal, (ii) o período fundamental e (iii) a representação do sinal na forma
Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):
-
-
e -
e - A frequência da
harmônica é , ou seja
O que o enunciado pede, em linhas claras:
- A média do sinal (o termo DC na expansão real, isto é
). - O período fundamental
(a partir de ). - A expressão de
na forma solicitada (identificando e para os harmônicos não nulos).
Passo 2
Entender como passar dos coeficientes exponenciais
para a forma com cossenos. Explicação didática e fórmula usada.
-
Qual a relação entre as duas representações?
A forma exponencial éPara um sinal real, os coeficientes satisfazem. Para cada temos o par Escrevendo(onde ), o par acima vira Portanto, ao comparar com a forma real pedida,O termo DC na forma exponencial ée corresponde ao termo constante na forma real: -
O que cada símbolo significa:
-
: frequência angular fundamental (rad/s). -
: período fundamental (s). -
: coeficiente da série exponencial para índice . -
: amplitude do cosseno do -ésimo harmônico na forma real. -
: fase (em rad) do -ésimo harmônico na forma real.
-
Passo 3
Determinar
e
a partir da frequência da
harmônica.
- Dado: a frequência angular da 3ª harmônica é
. - Isolando
: - Agora o período fundamental:
Passo 4
Calcular o valor médio
.
- Pelo item do Passo 2,
. - Como foi dado
, segue que - Interpretação: o valor médio do sinal (a média ao longo de um período) é
.
Passo 5
Converter
para amplitude
e fase
.
- Magnitude de
: . - Logo
- Fase de
: . - Portanto
- Conclusão: o termo do 1º harmônico é
.
Passo 6
Converter
para amplitude
e fase
.
- Escrever
na forma polar: . Então e . - Logo
- Conclusão: o termo do 3º harmônico é
.
Passo 7
Montar a expressão final de
na forma pedida, usando
.
- Só os harmônicos
e (além do DC) são não nulos, então os demais . - Substituindo os valores encontrados:
- Substituindo
(para ficar explícito em ):