1. Seja um sinal periódico x(t), com seus coeficientes não nulos da série exponencial de Fourier dados por: D o=-2 ; D_{1}=D_{-1}^{*}=3 e^{-j \pi / 4} ; D_{3}=D_{-3}^{*}=j 2. Identifique o valor médio e o periodo fundamental do sinal e represente o na forma abaixo. Assuma que a frequência da 3^{\text {a }} harmônica é 12 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{seg}.
x(t)=c_{o}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \cdot \cos \left(n w_{0} \cdot t+\varphi_{n}\right)

Passo 1

O enunciado fornece os coeficientes não nulos (na forma exponencial) e pede três coisas: (i) o valor médio do sinal, (ii) o período fundamental e (iii) a representação do sinal na forma
x(t)=c_{o}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}\cdot\cos\bigl(n\omega_{0}t+\varphi_{n}\bigr).
Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):
  • \;D_{0}=-2.
  • \;D_{1}=3e^{-j\pi/4} e \;D_{-1}=D_{1}^{*}.
  • \;D_{3}=j2 e \;D_{-3}=D_{3}^{*}.
  • A frequência da 3^{\text{a}} harmônica é \;12\pi\\ \text{rad/s}, ou seja \;3\omega_{0}=12\pi.
O que o enunciado pede, em linhas claras:
  • A média do sinal (o termo DC na expansão real, isto é c_{0}).
  • O período fundamental T_{0} (a partir de \omega_{0}).
  • A expressão de x(t) na forma solicitada (identificando c_{n} e \varphi_{n} para os harmônicos não nulos).

Passo 2

Entender como passar dos coeficientes exponenciais D_{n} para a forma com cossenos. Explicação didática e fórmula usada.
  • Qual a relação entre as duas representações?
    A forma exponencial é
    x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} D_{n}\,e^{j n\omega_{0}t}.
    Para um sinal real, os coeficientes satisfazem D_{-n}=D_{n}^{*}. Para cada n\ge 1 temos o par
    D_{n}e^{j n\omega_{0}t}+D_{-n}e^{-j n\omega_{0}t}.
    Escrevendo D_{n}=|D_{n}|e^{j\theta_{n}} (onde \theta_{n}=\arg(D_{n})), o par acima vira
    |D_{n}|e^{j(\,n\omega_{0}t+\theta_{n}\,)}+|D_{n}|e^{-j(\,n\omega_{0}t+\theta_{n}\,)} =2|D_{n}|\cos\bigl(n\omega_{0}t+\theta_{n}\bigr).
    Portanto, ao comparar com a forma real pedida,
    c_{n}=2|D_{n}|\quad\text{e}\quad \varphi_{n}=\arg(D_{n})\qquad(n\ge 1).
    O termo DC na forma exponencial é D_{0} e corresponde ao termo constante c_{0} na forma real:
    c_{0}=D_{0}.
  • O que cada símbolo significa:
    • \omega_{0}: frequência angular fundamental (rad/s).
    • T_{0}=\dfrac{2\pi}{\omega_{0}}: período fundamental (s).
    • D_{n}: coeficiente da série exponencial para índice n.
    • c_{n}: amplitude do cosseno do n-ésimo harmônico na forma real.
    • \varphi_{n}: fase (em rad) do n-ésimo harmônico na forma real.

Passo 3

Determinar \omega_{0} e T_{0} a partir da frequência da 3^{\text{a}} harmônica.
  • Dado: a frequência angular da 3ª harmônica é 3\omega_{0}=12\pi.
  • Isolando \omega_{0}: \omega_{0}=\frac{12\pi}{3}=4\pi\\ \text{rad/s}.
  • Agora o período fundamental: T_{0}=\frac{2\pi}{\omega_{0}}=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}\\ \text{s}.

Passo 4

Calcular o valor médio c_{0}.
  • Pelo item do Passo 2, c_{0}=D_{0}.
  • Como foi dado \;D_{0}=-2, segue que c_{0}=-2.
  • Interpretação: o valor médio do sinal (a média ao longo de um período) é -2.

Passo 5

Converter D_{1}=3e^{-j\pi/4} para amplitude c_{1} e fase \varphi_{1}.
  • Magnitude de D_{1}: |D_{1}|=3.
  • Logo c_{1}=2|D_{1}|=2\cdot 3=6.
  • Fase de D_{1}: \arg(D_{1})=-\dfrac{\pi}{4}.
  • Portanto \varphi_{1}=-\frac{\pi}{4}.
  • Conclusão: o termo do 1º harmônico é 6\cos\bigl(\omega_{0}t-\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 6

Converter D_{3}=j2 para amplitude c_{3} e fase \varphi_{3}.
  • Escrever j2 na forma polar: j2=2e^{j\pi/2}. Então |D_{3}|=2 e \arg(D_{3})=\dfrac{\pi}{2}.
  • Logo c_{3}=2|D_{3}|=2\cdot 2=4, \qquad \varphi_{3}=\frac{\pi}{2}.
  • Conclusão: o termo do 3º harmônico é 4\cos\bigl(3\omega_{0}t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 7

Montar a expressão final de x(t) na forma pedida, usando \omega_{0}=4\pi.
  • Só os harmônicos n=1 e n=3 (além do DC) são não nulos, então os demais c_{n}=0.
  • Substituindo os valores encontrados: x(t)=c_{0}+c_{1}\cos\bigl(\omega_{0}t+\varphi_{1}\bigr)+c_{3}\cos\bigl(3\omega_{0}t+\varphi_{3}\bigr).
x(t)=-2+6\cos\Bigl(\omega_{0}t-\frac{\pi}{4}\Bigr)+4\cos\Bigl(3\omega_{0}t+\frac{\pi}{2}\Bigr).
  • Substituindo \omega_{0}=4\pi (para ficar explícito em t): x(t)=-2+6\cos\Bigl(4\pi t-\frac{\pi}{4}\Bigr)+4\cos\Bigl(12\pi t+\frac{\pi}{2}\Bigr).

Resposta

c_{0}=-2
T_{0}=\dfrac{1}{2}\\ \text{s}
x(t)=-2+6\cos\Bigl(4\pi t-\frac{\pi}{4}\Bigr)+4\cos\Bigl(12\pi t+\frac{\pi}{2}\Bigr)

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