(05 pontos) Considere a função f(t)=t^2 e a equação y^prime prime+y=0. Separemos as duas variáveis e, então, ao resolver a equação, encontramos a seguinte relação de recorrência: an+2=an /[(n+2)(n+1)], Y1(t)=1+t^2/2!+cdots ; Y2(t)=t+t^3/3!+cdots.

Passo 1

O enunciado quer resolver a equação não-homogênea
y'' + y = t^2,
cujo termo não-homogêneo é f(t)=t^2. A parte homogênea
y'' + y = 0
já foi resolvida por série de potências, levando à recorrência
an+2=an(n+2)(n+1)
e às duas soluções fundamentais
Y1(t)=1+t^22!+t^44!+cdots=cos t, Y2(t)=t+t^33!+t^55!+cdots=sin t
Portanto a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1cos t + C2sin t

Passo 2

Para achar uma particular yp(t) usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como f(t) é polinômio de grau 2, suponha
yp(t)=At^2 + Bt + C
Então
yp''(t)=2A,
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Passo 3

substituindo em y''+y=f(t)
yp'' + yp = 2A + (At^2 + Bt + C) = t^2

Passo 4

Compare coeficientes de potências de t:
  • termo t^2: A=1,
  • termo t: B=0,
  • termo constante: 2A + C = 0 implies C = -2.
    Logo
yp(t) = t^2 - 2

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=yh(t)+yp(t) = C1cos t + C2sin t + t^2 - 2

Resposta

boxedy(t)=C1cos t + C2sin t + t^2 - 2

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