(05 pontos) Considere a função
e a equação
. Separemos as duas variáveis e, então, ao resolver a equação, encontramos a seguinte relação de recorrência:
.
Passo 1
O enunciado quer resolver a equação não-homogênea
cujo termo não-homogêneo é
. A parte homogênea
já foi resolvida por série de potências, levando à recorrência
e às duas soluções fundamentais
Portanto a solução geral da homogênea é
Passo 2
Para achar uma particular
usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como
é polinômio de grau
, suponha
Então
logo
Passo 3
substituindo em
dá
Passo 4
Compare coeficientes de potências de
:
- termo
: , - termo
: , - termo constante:
.
Logo
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular: