Com relação ao P.V.I. y^prime prime+alpha y=3 cos (2 t), y(0)=0 e y^prime(0)=0. Todos os valores de alpha in R para os quais a solução torna-se ilimitada são: alpha=4.

Passo 1

O enunciado dá o P.V.I.
y''+alpha,y=3cos(2t), y(0)=0,;y'(0)=0,
e pergunta para quais valores de alphainR a solução se torna ilimitada. Vamos usar: (i) análise da parte homogênea via equação característica; (ii) busca de solução particular; (iii) verificação de casos de ressonância e de raízes reais.

Passo 2

Equação homogênea e solução geral:
yh''+alpha,yh=0
tem equação característica
r^2+alpha=0;Longrightarrow;r=pmraiz-alpha
  • Se alpha>0, r=pm iraizalpha e yh=C1cos(raizalpha,t)+C2sin(raizalpha,t) é oscilatória e limitada.
  • Se alpha=0, r=0 dupla e yh=C1 + C2 t; mas as condições iniciais anulam o termo em t (veremos), deixando só constante, logo limitada.
  • Se alpha<0, escreva alpha=-k^2 com k>0, então r=pm k e
yh=C1e^kt+C2e^-kt,
que em geral é não limitada (devido ao e^kt), pois as condições iniciais não anulam simultaneamente C1 e C2.

Passo 3

Solução particular para alphaneq4. Tentamos
yp=Acos(2t)+Bsin(2t)
Derivando e substituindo em y''+alpha y=3cos2t
(-4A+alpha A)cos2t+(-4B+alpha B)sin2t=3cos2t
Logo
A(alpha-4)=3, B(alpha-4)=0 ;Longrightarrow; A=3alpha-4,;B=0
Portanto
yp=3alpha-4cos(2t),
sempre limitada quando alphaneq4.

Passo 4

Forma geral e condições iniciais (caso alphaneq4, inclusive alpha<0).
y(t)=yh+yp =C1e^kt+C2e^-kt+3alpha-4cos2t,
onde k=raiz-alpha se alpha<0, e similar para alpha>=0.
As CI em t=0:
y(0)=C1+C2+3alpha-4=0, y'(0)=C1k-C2k+0=0;Longrightarrow;C1=C2
Então
2C1+3alpha-4=0;Longrightarrow; C1=C2=-32(alpha-4)neq0(alphaneq4)
Se alpha<0, C1neq0 implica presença de e^kt não limitada.

Passo 5

Caso especial alpha=4 (ressonância). A tentativa anterior falha (divisão por zero), e usamos ansatz
yp=tl(Asin2t + Bcos2tr)
Isso gera termos em tsin2t, tcos2t não limitados (crescimento linear). Logo nesse caso a solução também é ilimitada.

Passo 6

Conclusão sobre a limitação da solução:
  • Para alpha<0, o termo e^raiz-alpha,t torna y não limitada.
  • Para alpha=0 ou alpha>0 com alphaneq4, obtemos solução limitada.
  • Para alpha=4, ocorre ressonância e surgem termos propto tsin2t, também não limitados.

Resposta

A solução torna-se ilimitada se, e somente se,
alpha<0oualpha=4

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