Com relação ao P.V.I.
e
. Todos os valores de
para os quais a solução torna-se ilimitada são:
.
Passo 1
O enunciado dá o P.V.I.
e pergunta para quais valores de
a solução se torna ilimitada. Vamos usar: (i) análise da parte homogênea via equação característica; (ii) busca de solução particular; (iii) verificação de casos de ressonância e de raízes reais.
Passo 2
Equação homogênea e solução geral:
tem equação característica
- Se
, e é oscilatória e limitada. - Se
, dupla e ; mas as condições iniciais anulam o termo em (veremos), deixando só constante, logo limitada. - Se
, escreva com , então e
que em geral é não limitada (devido ao
), pois as condições iniciais não anulam simultaneamente
e
.
Passo 3
Solução particular para
. Tentamos
Derivando e substituindo em
dá
Logo
Portanto
sempre limitada quando
.
Passo 4
Forma geral e condições iniciais (caso
, inclusive
).
onde
se
, e similar para
.
As CI em :
As CI em
Então
Se
,
implica presença de
não limitada.
Passo 5
Caso especial
(ressonância). A tentativa anterior falha (divisão por zero), e usamos ansatz
Isso gera termos em
,
não limitados (crescimento linear). Logo nesse caso a solução também é ilimitada.
Passo 6
Conclusão sobre a limitação da solução:
- Para
, o termo torna não limitada. - Para
ou com , obtemos solução limitada. - Para
, ocorre ressonância e surgem termos , também não limitados.
Resposta
A solução torna-se ilimitada se, e somente se,