Sejam
e
duas soluções da equação:
, tal que seu wronskiano
. Com relação as sentenças:
também é uma solução da equação; III)
. Qual das alternativas abaixo é verdadeira?
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem e homogênea
cuja base de soluções é
e cujo wronskiano satisfaz
Precisamos verificar cada afirmação usando propriedade de linearidade e do wronskiano.
Passo 2
Para I) usamos que, em geral,
Logo
Portanto I) é verdadeira.
Passo 3
Para II) recordamos que, sendo a equação homogênea e linear, qualquer combinação linear de soluções também é solução. Logo
é solução, e II) é verdadeira.
Passo 4
Para III) calculamos diretamente
Assim III) é verdadeira.
Passo 5
Concluímos que todas as três sentenças são corretas.
Resposta
I, II e III.