Sejam y1(t) e y2(t) duas soluções da equação: y^prime prime p(t) y^prime+q(t) y=0, tal que seu wronskiano W(y1, y2)(t)=e^-2 t. Com relação as sentenças: I) W(3 y1, 4 y2)(t)=12 e^-2 t ; I I) y3(t)=3 y1(t)-4 y2(t) também é uma solução da equação; III) W(y1-y2, y1+y2)(t)=2 e^-2 t. Qual das alternativas abaixo é verdadeira?

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem e homogênea
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
cuja base de soluções é y1,y2 e cujo wronskiano satisfaz
W(y1,y2)(t)=e^-2t
Precisamos verificar cada afirmação usando propriedade de linearidade e do wronskiano.

Passo 2

Para I) usamos que, em geral,
W(c1y1,c2y2)=c1,c2,W(y1,y2)
Logo
W(3y1,4y2)=3cdot4,W(y1,y2)=12,e^-2t
Portanto I) é verdadeira.

Passo 3

Para II) recordamos que, sendo a equação homogênea e linear, qualquer combinação linear de soluções também é solução. Logo
y3(t)=3,y1(t)-4,y2(t)
é solução, e II) é verdadeira.

Passo 4

Para III) calculamos diretamente
W(y1-y2,;y1+y2) =det y1-y2 & y1+y2 y1'-y2' & y1'+y2' =2l(y1y2'-y2y1'r) =2,W(y1,y2) =2,e^-2t
Assim III) é verdadeira.

Passo 5

Concluímos que todas as três sentenças são corretas.

Resposta

I, II e III.

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