O movimento de um determinado sistema de massa-mola é governado pela equação diferencial y^prime prime+0,125 y^prime+y=0, onde y é medido em metros e t em segundos. Se y(0)=2 e y^prime(0)=0. Podemos afirmar que a equação que determina a posição da massa em qualquer tempo; assim como a quasi-frequência mu; o quasi-periódo Td; a amplitude R do movimento; o ângulo de fase de<a e o primeiro instante t0 para o qual a massa passa pela sua posição de equilíbrio são respectivamente: y(t)=e^-t32 2raiz255 cos (raiz25532-de<a) ; mu=raiz25532 ; Td=64 piraiz255 ; R=64raiz255 ; de<a=arctg(1raiz255) ; t0=2 de<a+pimu.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + 0,125,y' + y = 0
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=0. Trata-se de um movimento subamortecido (underdamped) em que vamos usar a forma geral da solução de um sistema massa-mola linear com amortecimento.

Passo 2

Reescrevemos o coeficiente de amortecimento como 2alpha=0,125, logo
alpha = tfrac0,1252 = tfrac116,
e a frequência natural é omega0=1. A quasi-frequência (frequência amortecida) é
omegad = raizomega0^2 - alpha^2 = raiz1 - l(tfrac116r)^2 = raiztfrac255256 = raiz25516

Passo 3

A forma geral da solução é
y(t) = e^-alpha tl(C1cos(omegad t) + C2sin(omegad t)r)
Usando y(0)=2 obtemos C1=2.
Para y'(0)=0, diferenciando e avaliando em t=0
-alpha C1 + omegad C2 = 0 Longrightarrow C2 = alpha C1omegad = tfrac116cdot 2tfracraiz25516 = 2raiz255

Passo 4

Reescrevendo em forma de amplitude-fase
y(t) = R,e^-alpha tcosl(omegad t - de<ar),
once
R = raizC1^2 + C2^2 = raiz4 + 4255 = raiz1024255 = 32raiz255,
de<a = arctan!l(C2C1r) = arctan!l(2/raiz2552r) = arctan!l(1raiz255r)

Passo 5

A partir daí extraímos:
– Quasi-frequência mu=omegad=tfracraiz25516.
– Quasi-período
Td = 2piomegad = 2piraiz255/16 = 32piraiz255
– Amplitude R=tfrac32raiz255.
– Fase de<a = arctan!l(tfrac1raiz255r).
– Primeiro instante t0 em que y(t0)=0 é dado por
omegad,t0 - de<a = pi2 Longrightarrow t0 = pi2 + de<aomegad

Resposta

y(t) = 32raiz255;e^-tfract16 cos!l(raiz25516,t ;-;arctan!l(tfrac1raiz255r)r)
mu = dfracraiz25516 Td = dfrac32piraiz255 R = dfrac32raiz255 de<a = arctan!l(tfrac1raiz255r) t0 = dfractfracpi2 + de<amu

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