(05 pontos) Considere o problema de valor inicial y^prime prime-2y^prime-3y=0, y(0)=1, y^prime(0)=2. Podemos afirmar que a solução deste problema é: y(t)=C1 e^3t+C2 e^-t.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' - 2y' - 3y = 0, y(0)=1, y'(0)=2
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos (1) encontrar a equação característica, (2) escrever a solução geral e (3) determinar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Propondo uma solução do tipo y(t)=e^rt, obtemos a equação característica
r^2 - 2r - 3 = 0
Resolvendo,
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot(-3)2 = 2 pm raiz4+122 = 2 pm 42,
logo os dois raízes são r1=3 e r2=-1. Assim a solução geral é
y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t

Passo 3

Para achar C1 e C2, usamos as condições iniciais. Em t=0,
y(0)=C1 + C2 = 1
Derivando y,
y'(t) = 3C1 e^3t - C2 e^-t,
e em t=0
y'(0) = 3C1 - C2 = 2
Isso gera o sistema
C1 + C2 = 1, 3C1 - C2 = 2

Passo 4

Somando as duas equações do sistema:
(C1 + C2) + (3C1 - C2) = 1 + 2 Longrightarrow 4C1 = 3 Longrightarrow C1 = tfrac34
Substituindo em C1 + C2 = 1 vem
C2 = 1 - tfrac34 = tfrac14
Logo a solução particular do problema de valor inicial é
y(t) = tfrac34,e^3t + tfrac14,e^-t

Resposta

y(t) = 34e^3t + 14e^-t

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