Esboce o gráfico.
f(x)=x sin x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=xsin x
O conteúdo é análise qualitativa de funções: vamos identificar domínio, zeros, simetria, envoltória de amplitude e comportamento em cada intervalo para depois desenhar o esboço.

Passo 2

Domínio e zeros. Como x e sin x estão definidos para todo xinR, o domínio é R.
Para encontrar os zeros, resolvemos
xsin x = 0
que ocorre quando
x=0ousin x=0implies x=kpi,;kinZ

Passo 3

Envoltória de amplitude. Visto que sin x varia entre -1 e 1, temos
-,|x|<= xsin x<= |x|,
ou seja, o gráfico fica “encapsulado” entre as retas
y= x e y=-x

Passo 4

Simetria e sinal.
Calculemos f(-x):
f(-x)=(-x)sin(-x)=(-x)(-,sin x)=xsin x=f(x),
logo f é função par. Entre kpi e (k+1)pi, o sinal de sin x determina se f está acima ou abaixo do eixo x.

Passo 5

Comportamento qualitativo em cada intervalo [kpi,(k+1)pi].
– Nos intervalos em que sin x>0 (por exemplo (0,pi), (2pi,3pi), ···), f(x) oscila entre 0 e + |x|.
– Nos intervalos em que sin x<0 (por exemplo (pi,2pi), (3pi,4pi), ···), f(x) oscila entre 0 e -|x|.
Os máximos e mínimos ocorrem próximos dos pontos onde sin x atinge pm1, isto é em x=(2n+1)tfracpi2, com valores
f!l((2n+1)tfracpi2r) =(2n+1)tfracpi2,sinl((2n+1)tfracpi2r) =pm(2n+1)tfracpi2

Passo 6

Esboço final.
1. Trace os eixos x e y.
2. Marque os zeros em x=kpi.
3. Desenhe as retas y=x e y=-x como envoltória.
4. Entre cada par de zeros, desenhe uma meia-onda de seno multiplicada por x, alternando picos positivos e negativos de amplitude crescente.

Resposta

O gráfico de f(x)=xsin x é uma curva oscilante, simétrica em relação ao eixo y, com zeros em x=kpi, cujas cristas acompanham as retas y=x e y=-x, crescendo em magnitude conforme |x| aumenta.

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