(05 pontos) Considere o problema de valor inicial y^prime prime-2y^prime-3y=0, y(0)=1, y^prime(0)=2. Podemos afirmar que a solução deste problema é: y(t)=52e^3t+ 32e^-t.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial para a equação diferencial homogênea de segunda ordem
y'' - 2y' - 3y = 0,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo y=e^rt:
r^2 - 2r - 3 = 0
Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos as raízes
r = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42,
isto é, r1 = 3 e r2 = -1.

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t
Calculamos também a derivada:
y'(t) = 3C1 e^3t - C2 e^-t

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais:
Para t=0,
y(0) = C1 + C2 = 1,
y'(0) = 3C1 - C2 = 2
Isso gera o sistema linear
C1 + C2 = 1, 3C1 - C2 = 2

Passo 5

Somando as duas equações do sistema, temos
4C1 = 3 Longrightarrow C1 = tfrac34
Substituindo em C1 + C2 = 1, obtemos
C2 = 1 - tfrac34 = tfrac14

Passo 6

Portanto, a solução única do problema de valor inicial é
y(t) = tfrac34e^3t + tfrac14e^-t

Resposta

A afirmativa de que
y(t)=tfrac52e^3t+ tfrac32e^-t
é a solução do problema é falsa. A solução correta é
y(t) = tfrac34e^3t + tfrac14e^-t

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