mostre que todo intervalo fechado é um conjunto fechado

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que todo intervalo fechado, ou seja, um conjunto da forma [a, b], é um conjunto fechado.
Conteúdo da matéria: Estamos falando de conceitos de topologia dentro de matemática, especificamente sobre conjuntos fechados na reta real.
O que precisamos para resolver: Vamos precisar entender o que é um conjunto fechado e como provar que um intervalo fechado [a, b] satisfaz essa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto fechado. Em termos simples, em topologia, um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de limite. Isso significa que se uma sequência de pontos dentro do conjunto converge para um certo ponto, esse ponto de convergência também está dentro do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o intervalo fechado [a, b]. Esse intervalo inclui todos os números reais x tais que a <= x <= b. Precisamos mostrar que qualquer ponto de limite de [a, b] também está dentro de [a, b].

Passo 4

Considere uma sequência (xn) dentro de [a, b] que converge para algum ponto x. Como todos os xn estão entre a e b, ou seja, a <= xn <= b, pelo Teorema do Limite, o limite x também deve satisfazer a <= x <= b. Portanto, x está dentro de [a, b].

Passo 5

Isso mostra que [a, b] contém todos os seus pontos de limite. Portanto, de acordo com a definição, [a, b] é um conjunto fechado.

Resposta

Todo intervalo fechado [a, b] é, de fato, um conjunto fechado porque contém todos os seus pontos de limite.

Exercícios relacionados