(05 pontos) Considere o problema de valor inicial y^prime prime-2y^prime-3y=0, y(0)=1, y^prime(0)=2. Podemos afirmar que a solução deste problema é: y(t)=C1 e^-3t+C2 e^t.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y'' - 2y' - 3y = 0, y(0)=1, y'(0)=2
e sugere que a solução seria
y(t)=C1e^-3t+C2e^t
Vamos resolver o problema de forma canônica e verificar se essa forma está correta.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à equação diferencial homogênea:
r^2 - 2r - 3 = 0

Passo 3

Resolvendo
r = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42
resultam as raízes
r1 = 3, r2 = -1

Passo 4

Com isso, a solução geral da EDO é
y(t) = A,e^3t + B,e^-t,
e não a forma proposta com expoentes -3t e +t.

Passo 5

Derivando,
y'(t) = 3A,e^3t - B,e^-t

Passo 6

Aplicando as condições iniciais em t=0:
y(0)=1 implies A + B = 1,
y'(0)=2 implies 3A - B = 2
Somando essas duas equações:
4A = 3 implies A = tfrac34, B = 1 - tfrac34 = tfrac14

Passo 7

Logo a solução particular do problema de valor inicial é
y(t) = 34,e^3t + 14,e^-t

Resposta

A afirmação de que
y(t)=C1e^-3t+C2e^t
seria a solução está incorreta. A solução correta é
y(t) = 34,e^3t + 14,e^-t

Exercícios relacionados