Verifique se cada funçào dada é uma solução da equação diferencial.
y^prime prime-y=0 ; y1(t)=e^t, y2(t)=cosh (t), y3(t)=senh(t).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada função dada satisfaz a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = 0
Para isso, basta calcular as derivadas de cada yi(t) e substituir na equação, conferindo se o resultado é zero.

Passo 2

Para y1(t)=e^t, temos
y1'(t)=e^t, y1''(t)=e^t
Substituindo em y''-y=0:
y1''-y1=e^t-e^t=0
Logo, y1(t)=e^t é solução da equação.

Passo 3

Para y2(t)=cosh(t), lembrando que cosh' = sinh e sinh' = cosh, obtemos
y2'(t)=sinh(t), y2''(t)=cosh(t)
Substituindo:
y2''-y2=cosh(t)-cosh(t)=0,
logo y2(t)=cosh(t) também é solução.

Passo 4

Para y3(t)=sinh(t), temos pelos mesmos motivos
y3'(t)=cosh(t), y3''(t)=sinh(t)
Substituindo:
y3''-y3=sinh(t)-sinh(t)=0,
portanto y3(t)=sinh(t) é solução.

Resposta

Todas as três funções y1(t)=e^t, y2(t)=cosh(t) e y3(t)=sinh(t) satisfazem a equação diferencial y''-y=0.

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