Sejam
e
duas soluções da equação:
, tal que seu wronskiano
. Com relação as sentenças:
também é uma solução da equação; III)
. Qual das alternativas abaixo é verdadeira? Somente I e III.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação linear homogênea
e duas de suas soluções
e
cujo wronskiano é
As sentenças a verificar são:
I) ;
II) também é solução;
III) .
I)
II)
III)
Passo 2
Para I usamos a propriedade de escalamento do wronskiano: se
e
são constantes então
Assim
logo I é verdadeira.
Passo 3
Para II lembramos que a equação é linear e homogênea, então qualquer combinação linear de soluções também é solução. Portanto
é solução, e II é verdadeira.
Passo 4
Para III calculamos diretamente
portanto III é verdadeira.
Passo 5
Concluímos que I, II e III são todas verdadeiras.
Resposta
I, II e III.