Sejam y1(t) e y2(t) duas soluções da equação: y^prime prime p(t) y^prime+q(t) y=0, tal que seu wronskiano W(y1, y2)(t)=e^-2 t. Com relação as sentenças: I) W(3 y1, 4 y2)(t)=12 e^-2 t ; I I) y3(t)=3 y1(t)-4 y2(t) também é uma solução da equação; III) W(y1-y2, y1+y2)(t)=2 e^-2 t. Qual das alternativas abaixo é verdadeira? Somente I e III.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação linear homogênea
y'' + p(t)y' + q(t)y = 0
e duas de suas soluções y1(t) e y2(t) cujo wronskiano é
W(y1,y2)(t)=e^-2t
As sentenças a verificar são:
I) W(3y1,4y2)(t)=12,e^-2t;
II) y3(t)=3y1(t)-4y2(t) também é solução;
III) W(y1-y2,y1+y2)(t)=2,e^-2t.

Passo 2

Para I usamos a propriedade de escalamento do wronskiano: se c e d são constantes então
W(c,y1,d,y2) = c,d,W(y1,y2)
Assim
W(3y1,4y2) = 3cdot4;W(y1,y2) = 12,e^-2t,
logo I é verdadeira.

Passo 3

Para II lembramos que a equação é linear e homogênea, então qualquer combinação linear de soluções também é solução. Portanto
y3(t)=3y1(t)-4y2(t)
é solução, e II é verdadeira.

Passo 4

Para III calculamos diretamente
W(y1-y2,,y1+y2) =det y1-y2 & y1+y2 y1'-y2' & y1'+y2' =2l(y1y2'-y2y1'r) =2,W(y1,y2) =2,e^-2t,
portanto III é verdadeira.

Passo 5

Concluímos que I, II e III são todas verdadeiras.

Resposta

I, II e III.

Exercícios relacionados