(05 pontos) Considere o problema de valor inicial y^prime prime-2y^prime-3y=0, y(0)=1, y^prime(0)=2. Podemos afirmar que a solução deste problema é: y(t)=12e^t - 12e^-3t.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
,y'' - 2y' - 3y = 0,
,y(0)=1 e ,y'(0)=2.
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y=e^rt:
r^2 - 2r - 3 = 0

Passo 3

Calculamos as raízes dessa equação. O discriminante é
De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot(-3) = 4 + 12 = 16,
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r = 2 pm raiz162 = 2 pm 42,
o que dá r1 = 3 e r2 = -1.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t

Passo 5

Derivando, temos
y'(t) = 3C1 e^3t - C2 e^-t
Impondo as condições iniciais em t=0:
y(0)=C1 + C2 = 1, y'(0)=3C1 - C2 = 2
Resolvendo o sistema, somamos as duas equações:
4C1 = 3 Longrightarrow C1 = tfrac34,
e então
C2 = 1 - tfrac34 = tfrac14

Passo 6

Portanto a solução correta do problema de valor inicial é
y(t) = 34,e^3t + 14,e^-t
A solução proposta no enunciado,
,y(t)=tfrac12e^t-tfrac12e^-3t,
está incorreta pois usa raízes e coeficientes errados.

Resposta

A afirmação é falsa. A solução correta é
y(t) = 34,e^3t + 14,e^-t

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