Determine os valores de n para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma f(x)=x^n para x>0.
x^2 d^2 yd x^2-4 x d yd x+4 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar valores de n tais que a equação de Euler-Cauchy
x^2d^2ydx^2 - 4xdydx + 4y = 0
tenha solução da forma y = x^n em x>0. Vamos usar o método padrão para equações de Euler, assumindo uma solução potencia.

Passo 2

Equações de Euler são resolvidas com o palpite y = x^n. A ideia é calcular y' e y'' e substituir na equação original para obter uma equação algébrica em n.

Passo 3

Derivando y = x^n obtemos
y' = n x^n-1,
y'' = n(n-1)x^n-2
Substituindo esses na EDO:

Passo 4

Na substituição aparece
x^2l[n(n-1)x^n-2r] - 4xl[nx^n-1r] + 4x^n = 0,
o que simplifica para
igl(n(n-1) - 4n + 4r)x^n = 0 
Como x^nneq 0 em x>0, o que sobra é a equação característica

Passo 5

A equação característica é
n(n-1) - 4n + 4 = 0
o que dá
n^2 - 5n + 4 = 0
Resolvendo-a pelo discriminante:

Passo 6

O discriminante é De, então
n = 5 pm 32,
resultando em n = 4 ou n = 1.

Passo 7

Portanto, os valores de n para os quais a equação tem solução da forma y=x^n são n=1 e n=4.

Resposta

n = 1 e n = 4

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