Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
para
.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar valores de
tais que a equação de Euler-Cauchy
tenha solução da forma
em
. Vamos usar o método padrão para equações de Euler, assumindo uma solução potencia.
Passo 2
Equações de Euler são resolvidas com o palpite
. A ideia é calcular
e
e substituir na equação original para obter uma equação algébrica em
.
Passo 3
Derivando
obtemos
Substituindo esses na EDO:
Passo 4
Na substituição aparece
o que simplifica para
Como
em
, o que sobra é a equação característica
Passo 5
A equação característica é
o que dá
Resolvendo-a pelo discriminante:
Passo 6
O discriminante é
, então
resultando em
ou
.
Passo 7
Portanto, os valores de
para os quais a equação tem solução da forma
são
e
.
Resposta
n = 1 e n = 4