Verifique se cada funçào dada é uma solução da equação diferencial.
2 t^2 u^prime prime+3 t u^prime-u=0, t>0 ; u1(t)=raizt, u2(t)=t^-1, u3(t)=t^-1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada função
u1(t)=raizt, u2(t)=t^-1, u3(t)=t^-1/2
é solução da equação diferencial de Euler–Cauchy
2,t^2u''+3,t,u'-u=0, t>0
O conteúdo necessário é reconhecer que essa é uma equação de Cauchy–Euler e usar a ansatz u(t)=t^r.

Passo 2

Assumimos
u(t)=t^r,
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u'(t)=r,t^r-1, u''(t)=r(r-1),t^r-2
Substituindo na equação dada:
2t^2l[r(r-1)t^r-2r]+3tl[r,t^r-1r]-t^r=0
Longrightarrow 2r(r-1)t^r+3r,t^r - t^r =l[2r(r-1)+3r-1r]t^r=0
Longrightarrow (2r^2+r-1),t^r=0
Como t^rneq0, a equação característica é
2r^2 + r - 1 = 0

Passo 3

Resolvendo
2r^2+r-1=0
r=-1pmraiz1+84=-1pm34,
obtemos as raízes
r1=tfrac12, r2=-1

Passo 4

Comparando com cada função:
Para u1(t)=t^1/2 o expoente é r=tfrac12, que é raiz, então u1 satisfaz a ED.
Para u2(t)=t^-1 o expoente é r=-1, que é raiz, então u2 satisfaz a ED.
Para u3(t)=t^-1/2 o expoente é r=-tfrac12, que não é raiz, então u3 não satisfaz a ED.

Resposta

u1 e u2 são soluções; u3 não é solução.

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