Verifique se cada funçào dada é uma solução da equação diferencial.
y^(4)+4 y^(3)+3 y=t ; y1(t)=t3, y2(t)=t^24, y3(t)=e^-t+t3.

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial linear de quarta ordem não homogênea
y^(4) + 4,y^(3) + 3,y = t
Para verificar se uma função yi(t) é solução, calculamos suas derivadas até a quarta ordem e substituímos na equação, conferindo se o lado esquerdo coincide com t.

Passo 2

Para y1(t)=tfract3 temos
y1' = tfrac13, y1'' = 0, y1''' = 0, y1^(4) = 0
Substituindo na EDO:
y1^(4) + 4,y1''' + 3,y1 = 0 + 0 + 3l(tfract3r) = t
Como coincide com o termo não homogêneo, y1 é solução.

Passo 3

Para y2(t)=tfract^24 calculamos
y2' = tfract2, y2'' = tfrac12, y2''' = 0, y2^(4) = 0
Logo
y2^(4) + 4,y2''' + 3,y2 = 0 + 0 + 3l(tfract^24r) = tfrac3t^24,
que não é igual a t. Portanto, y2 não é solução.

Passo 4

Para y3(t)=e^-t+tfract3 temos
y3' = -e^-t + tfrac13, y3'' = e^-t, y3''' = -e^-t, y3^(4) = e^-t
Substituindo:
y3^(4) + 4,y3''' + 3,y3 = e^-t + 4(-e^-t) + 3l(e^-t + tfract3r) = (1 - 4 + 3)e^-t + t = t
Como obtivemos t, y3 também satisfaz a EDO.

Resposta

As funções y1(t)=tfract3 e y3(t)=e^-t+tfract3 são soluções da equação diferencial, enquanto y2(t)=tfract^24 não é.

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