Verifique se cada funçào dada é uma solução da equação diferencial.
x d yd x-y=x^2 ; y1(x)=3 x+x^2, y2(x)=x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
xdydx-y = x^2
e pede para verificar se as funções
y1(x)=3x + x^2 e y2(x)=x^2
são soluções. Para isso, vamos calcular dydx de cada uma, substituir na equação e conferir se o lado esquerdo fica igual a x^2.

Passo 2

Para y1(x)=3x+x^2 temos
dy1dx = 3 + 2x
Substituindo em xdydx-y
xl(3+2xr) - l(3x+x^2r) = 3x + 2x^2 -3x - x^2 = x^2
Como o resultado coincide com o termo de direita x^2, concluímos que y1 é solução.

Passo 3

Para y2(x)=x^2 temos
dy2dx = 2x
Substituindo em xdydx-y
xcdot(2x) - x^2 = 2x^2 - x^2 = x^2
De novo o lado esquerdo é x^2, logo y2 também satisfaz a equação.

Resposta

Ambas as funções, y1(x)=3x+x^2 e y2(x)=x^2, são soluções da equação diferencial dada.

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