Q 1: (05 pontos) Dada a função , podemos afirmar que sua série de potências é:
a)
d) Nenhuma das outras alternativas
[1]
c)

Passo 1

Beleza, o exercício pede para expandir
f(x)=1(1+x^3)^1/2
em série de potências em torno de x=0.
Conteúdo: série binomial generalizada.
O que vamos precisar: a fórmula
(1+t)^alpha ;=;sumn=0^inftybinomalphan,t^n,
onde
binomalphan=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 2

Na nossa função, basta identificar
alpha=-tfrac12 e t = x^3
Logo
1(1+x^3)^1/2 =(1+x^3)^-1/2 =sumn=0^infty binom-tfrac12n,(x^3)^n =sumn=0^infty binom-tfrac12n,x^3n

Passo 3

Agora vamos entender o coeficiente geral
binom-tfrac12n =(-tfrac12),(-tfrac12-1),(-tfrac12-2)cdots(-tfrac12-n+1)n!
Também dá para usar
binom-tfrac12n =(-1)^n1cdot3cdot5cdots(2n-1)2^n,n!,

Passo 4

Vamos calcular os primeiros termos:
  • n=0: binom-tfrac120=1
  • n=1: binom-tfrac121=-tfrac12, gera -tfrac12,x^3
  • n=2: binom-tfrac122=(-tfrac12)(-tfrac32)2!=tfrac38, gera tfrac38,x^6
  • n=3: binom-tfrac123=(-tfrac12)(-tfrac32)(-tfrac52)3!=-tfrac516, gera -tfrac516,x^9
Portanto
1(1+x^3)^1/2 =1-12,x^3+38,x^6-516,x^9+cdots

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas, nenhuma bate com
;1-tfrac12x^3+tfrac38x^6-tfrac516x^9+cdots.

Resposta

Alternativa d) Nenhuma das outras alternativas.

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