Determine a diferencial da função.
5) w=ln (raizx^2+y^2+z^2)

Passo 1

O enunciado pede a diferencial total de w(x,y,z), onde
w = lnl(raizx^2+y^2+z^2r)
O conteúdo é diferencial de função de três variáveis: usamos
dw = partial wpartial x,dx + partial wpartial y,dy + partial wpartial z,dz
e cálculo das derivadas parciais via regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, simplificamos w usando raizu = u^1/2 e propriedades de logaritmo:
w = lnl((x^2+y^2+z^2)^1/2r) = tfrac12,lnl(x^2+y^2+z^2r)

Passo 3

Agora calculamos cada derivada parcial. Chamando u = x^2+y^2+z^2, temos
w = tfrac12ln u, logo
partial wpartial x = 12cdot1ucdotpartial upartial x = 12cdot1x^2+y^2+z^2cdot 2x = xx^2+y^2+z^2
De modo análogo,
partial wpartial y=yx^2+y^2+z^2
e
partial wpartial z=zx^2+y^2+z^2.

Passo 4

Substituindo em dw, obtemos
dw = xx^2+y^2+z^2,dx + yx^2+y^2+z^2,dy + zx^2+y^2+z^2,dz = x,dx + y,dy + z,dzx^2+y^2+z^2

Resposta

boxeddw = x,dx + y,dy + z,dzx^2+y^2+z^2

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