Determine a série de Maclaurin de cada uma das funções abaixo. (Dica: Utilize as séries de potências conhecidas de funções elementares como e^x, cos x, sin x, tan ^-1 x, entre outras.)
f(x)=x cos (12 x^2)

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=xcos!l(tfrac12x^2r)
O conteúdo principal é usar a expansão em série de Taylor–Maclaurin da função cos u e depois fazer a composição u=tfrac12x^2, finalmente multiplicar por x.

Passo 2

Lembrando a série de Maclaurin de cos u:
cos u=sumn=0^infty(-1)^n,u^2n(2n)!

Passo 3

Fazendo a substituição u=tfrac12x^2 nessa série, obtemos
cos!l(tfrac12x^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,l(tfrac12x^2r)^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n,12^2n;x^4n(2n)!

Passo 4

Agora basta multiplicar termo a termo por x:
f(x)=xcos!l(tfrac12x^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,12^2n;x^4n+1(2n)!

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+12^2n,(2n)! = x ;-;x^58;+;x^9384;-;cdots

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