Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de r como função de theta em coordenadas cartesianas.
r=1+2 cos 2 theta

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva polar
r = 1 + 2cos(2theta)
e sugere primeiro desenhar o gráfico de r em função de theta num plano cartesiano. O conteúdo que vamos usar envolve análise de funções trigonométricas (amplitude, período, zeros) e depois interpretação geométrica em coordenadas polares, cuidando especialmente dos pontos em que r muda de sinal.

Passo 2

Analisamos r(theta)=1+2cos(2theta):
cos(2theta) tem amplitude 1 e período pi, então r tem amplitude 2 e deslocamento vertical +1, variando entre
rmax=1+2cdot1=3, rmin=1+2cdot(-1)=-1
Os zeros ocorrem quando
1+2cos(2theta)=0 ;Longrightarrow; cos(2theta)=-tfrac12 ;Longrightarrow; 2theta=tfrac2pi3,;tfrac4pi3;(bmod,2pi),
isto é,
theta=tfracpi3,;tfrac2pi3,;tfrac4pi3,;tfrac5pi3

Passo 3

Esboce r versus theta para 0<=theta<=2pi:
c|c|c theta&cos(2theta)&r(theta)=1+2cos(2theta)hline 0&1&3 tfracpi4&0&1 tfracpi3&-tfrac12&0 tfracpi2&-1&-1 tfrac2pi3&-tfrac12&0 pi&1&3
O gráfico é uma senoide de período pi, que cruza o eixo em r=0 nos theta acima e atinge picos r=3 em theta=0,pi,2pi e vales r=-1 em theta=tfracpi2,tfrac3pi2.

Passo 4

Para passar ao esboço polar, note os intervalos em que r>=0 e r<0:
  • Em cada intervalo onde r>0, traçamos pontos no ângulo theta com distância r.
  • Quando r<0, o ponto fica na direção theta+pi a uma distância |r|.
    Isso gera quatro “folhas”: duas maiores (quando r>0) e duas menores (quando r<0).

Passo 5

Caracterizando as folhas:
  • Máximos r=3 em theta=0 e theta=pi formam duas folhas grandes sobre o eixo polar.
  • Mínimos r=-1 em theta=tfracpi2 e theta=tfrac3pi2 viram duas folhas pequenas voltadas para theta=tfrac3pi2 e tfracpi2, respectivamente.
    O esboço final é uma curva com quatro lobos simétricos de duas espécies: duas folhas maiores de raio até 3 nos eixos horizontal, e duas folhas menores de raio 1 nos eixos vertical.

Resposta

O esboço polar da curva r=1+2cos(2theta) apresenta quatro lobos simétricos:
  • Duas folhas grandes de comprimento máximo 3 dirigidas para a direita ( theta=0) e para a esquerda ( theta=pi).
  • Duas folhas pequenas de comprimento máximo 1 dirigidas para baixo ( theta=tfrac3pi2) e para cima ( theta=tfracpi2).

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