Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dad no ponto especificado pelo valor de theta.
r=1+2 cos theta, theta=pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva polar
r(theta)=1+2costheta
e pede a inclinação da reta tangente em theta=pi.
O conteúdo necessário é a fórmula da derivada tfracdydx para curvas em coordenadas polares, que é
dydx = r'(theta),sintheta + r(theta),costheta r'(theta),costheta - r(theta),sintheta

Passo 2

Calculamos primeiro
r(pi)=1+2cospi=1+2(-1)=-1,
e
r'(theta)=ddtheta[,1+2costheta,]=-2sintheta,
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r'(pi)=-2sinpi=-2cdot0=0

Passo 3

Substituindo em
dydx = r'(theta)sintheta + r(theta)costheta r'(theta)costheta - r(theta)sintheta
em theta=pi obtemos
numerador =0cdotsinpi + (-1)cdotcospi =0 + (-1)cdot(-1) =1,
denominador =0cdotcospi - (-1)cdotsinpi =0 -(-1)cdot0 =0

Passo 4

Como o denominador é zero e o numerador vale 1ne0, a fração fica “infinita”. Isso significa que a reta tangente é vertical no ponto correspondente a theta=pi, que em coordenadas cartesianas fica em (x,y)=(1,0).

Resposta

A inclinação é infinita; a reta tangente é vertical (reta x=1).

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