Use a definição da derivada f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} para calcular as derivadas das seguintes funções:
(a) f(x)=c, c \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de uma função constante usando a definição da derivada. Informações dadas:
  • A função é f(x)=c, com c\in\mathbb{R} (constante).
  • Deve-se usar a definição
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
A tarefa é aplicar essa definição à função f(x)=c e encontrar f'(x).

Passo 2

Vou lembrar o que significa a definição e explicar cada símbolo (passo-a-passo, sem pressa).
  • \,f'(x) é a derivada de f no ponto x: intuitivamente, a taxa de variação instantânea de f em x (ou a inclinação da reta tangente).
  • Na expressão
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
\,h representa um pequeno incremento na variável x. A fração \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a razão de variação média de f entre x e x+h. Tomamos o limite quando h tende a zero para obter a variação instantânea.
  • Regra útil: se para todo h (diferente de zero) a razão for igual a um mesmo valor L, então \lim_{h\to 0} dessa razão é L.

Passo 3

Agora aplico a definição à função constante f(x)=c. Primeiro calcule f(x+h):
f(x+h)=c,
porque a função é constante: independentemente do argumento, o valor é c. Então o numerador da definição fica
f(x+h)-f(x)=c-c=0.

Passo 4

Com o numerador igual a 0, a razão da definição é, para todo h\neq0,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{0}{h}=0.
Como essa razão vale 0 para todos os h (exceto h=0, onde a expressão não está definida), o limite quando h\to 0 é simplesmente 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}0=0.

Passo 5

Conclusão e interpretação geométrica e prática:
  • A derivada de f(x)=c é f'(x)=0 para todo x. Ou seja, a função derivada é a função identicamente zero.
  • Geometricamente, f(x)=c é uma reta horizontal; sua inclinação é zero, então a derivada (que mede a inclinação da tangente) é zero.
  • Exemplo concreto: se f(x)=5, então f'(x)=0 em todo lugar. No exame, seguindo a definição, basta observar que f(x+h)-f(x)=c-c=0 e concluir imediatamente que a derivada é zero.

Resposta

\;f'(x)=0

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