06 Um agrimensor usa uma fita de aço de 50000 m de comprimento a uma temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Qual é o comprimento da fita em um dia de verão quando a temperatura é igual a 35^{\circ} \mathrm{C} ?
SOLUÇÃO
A variação de temperatura é \Delta \mathrm{T}=\mathrm{T}-\mathrm{T}_{0}=15^{\circ} \mathrm{C}.
Então, pela relação \Delta \mathrm{L}=\mathrm{L}_{0} \alpha \Delta \mathrm{~T}, a variação de comprimento \Delta \mathrm{L} e o comprimento final \mathrm{L}=\mathrm{L}_{0}+\Delta \mathrm{L} são
\Delta \mathrm{L}=\mathrm{L}_{0} \alpha \Delta \mathrm{~T}=(50 \mathrm{~m})\left(1,2.10^{-5} \mathrm{~K}^{-1}\right)(15 \mathrm{~K})=9,0.10^{-3} \mathrm{~m}=9,0 \mathrm{~mm}
\mathrm{L}=\mathrm{L}_{0}+\Delta \mathrm{L}=50000 \mathrm{~m}+0,009 \mathrm{~m}=50009 \mathrm{~m}.

Passo 1

Dados e pergunta do enunciado:
\,L_{0}=50000\\ \mathrm{m} (comprimento inicial da fita),
\,T_{0}=20^\circ\mathrm{C} (temperatura inicial),
\,T=35^\circ\mathrm{C} (temperatura no dia de verão).
Pergunta: qual é o comprimento da fita \,L à temperatura \,T ?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando um corpo sofre variação de temperatura, seu comprimento varia aproximadamente de forma linear para materiais sólidos, e essa variação é dada pela fórmula da dilatação linear:
\Delta L = L_{0}\,\alpha\,\Delta T.
Aqui:
  • \,\Delta L é a variação de comprimento (em metros),
  • \,L_{0} é o comprimento inicial (em metros),
  • \,\alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (em \mathrm{K}^{-1} — lê-se “por kelvin”),
  • \,\Delta T é a variação de temperatura (em kelvin ou em graus Celsius, pois uma variação de 1^\circ\mathrm{C} equivale a 1\\ \mathrm{K}).
Observação importante: não precisamos converter °C em K para variação; usamos \Delta T em ^{\circ}\mathrm{C} ou \mathrm{K} da mesma forma.

Passo 3

Valor do coeficiente e cálculo da variação de temperatura:
Usamos o coeficiente típico do aço \,\alpha=1{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{K}^{-1}.
A variação de temperatura é
\Delta T = T - T_{0} = 35^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 15^\circ\mathrm{C} = 15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular \alpha\Delta T passo a passo:
\alpha\Delta T = \left(1{,}2\times10^{-5}\right)\times 15.
Multiplicando:
1{,}2\times 15 = 18 \quad\Rightarrow\quad 1{,}2\times10^{-5}\times15 = 18\times10^{-5} = 1{,}8\times10^{-4}.

Passo 5

Calcular a variação de comprimento \Delta L:
\Delta L = L_{0}\,\alpha\,\Delta T = 50000\\ \mathrm{m}\times 1{,}8\times10^{-4}.
Agora multiplicamos:
50000 \times 1{,}8\times10^{-4} = 50000 \times 0{,}00018 = 9{,}0\\ \mathrm{m}.
Logo, a fita aumenta \,9{,}0\\ \mathrm{m} quando a temperatura sobe 15^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular o comprimento final \,L:
L = L_{0} + \Delta L = 50000\\ \mathrm{m} + 9{,}0\\ \mathrm{m} = 50009\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Comentário prático e sobre algarismos significativos (rápido e útil para prova):
  • O resultado mostra que uma fita muito longa (50 km) sofre uma dilatação grande (9 m) com apenas 15^\circ\mathrm{C} de aumento — por isso, em topografia é crucial compensar temperatura.
  • Em termos de algarismos significativos, os dados iniciais (por exemplo, L_{0}=50000\\ \mathrm{m}) determinam a precisão; o valor apresentado \,50009\\ \mathrm{m} é coerente com os dados.

Resposta

\,L=50009\\ \mathrm{m}

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