08 À temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C}, encontramos uma chapa de cobre com superfície de área 100,0 \mathrm{~cm}^{2}. Que área terá essa superfície se a chapa for aquecida até 515^{\circ} \mathrm{C} ?
Dado: coeficiente de dilatação superficial do cobre =3,2 \cdot 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}
SOLUÇÃO
\Delta \mathrm{A}=\mathrm{A}_{0} \beta \Delta \theta
\Delta A=100,0 \cdot 3,2 \cdot 10^{-5} \cdot(515-15)
\Delta \mathrm{A}=1,6 \mathrm{~cm}^{2}
Portanto:

Passo 1

Enunciado e dados dados: uma chapa de cobre tem área inicial \(A_0= 100,0\\ \mathrm{cm}^2) à temperatura inicial \(15^\circ\mathrm{C}). Ela é aquecida até \(515^\circ\mathrm{C}). O coeficiente de dilatação superficial do cobre é \(\beta=3,2\cdot10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}). A pergunta implícita é: qual será a área da superfície após o aquecimento? Lista de informações relevantes:
\(A_0= 100,0\\ \mathrm{cm}^2)
\(T_i= 15^\circ\mathrm{C})
\(T_f= 515^\circ\mathrm{C})
\(\beta= 3,2\cdot10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1})

Passo 2

Conceito e fórmula a usar (explicado de forma didática): quando uma superfície homogênea é aquecida, sua área aumenta proporcionalmente à área inicial, ao coeficiente de dilatação superficial e à variação de temperatura. A fórmula é
\Delta A = A_0\,\beta\,\Delta\theta.
Aqui:
  • \Delta A é o aumento da área (em \mathrm{cm}^2);
  • \(A_0) é a área inicial (em \mathrm{cm}^2);
  • \beta é o coeficiente de dilatação superficial (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • \Delta\theta é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}), dada por \(T_f-T_i).
    Essa relação é linear para variações de temperatura não muito grandes (como neste problema) e é a fórmula padrão que você deve lembrar para área — mais tarde, para volume usa-se algo semelhante com coeficiente volumétrico.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura \Delta\theta. Aplicando \Delta\theta = T_f - T_i:
\Delta\theta = 515^\circ\mathrm{C} - 15^\circ\mathrm{C} = 500^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Substituir os valores na fórmula e calcular \Delta A passo a passo. Primeiro calcule \beta\Delta\theta:
\beta\Delta\theta = 3{,}2\cdot10^{-5}\times 500.
Para multiplicar, faça assim: 500=5\cdot10^{2}, então
3{,}2\cdot10^{-5}\times 5\cdot10^{2} = (3{,}2\times5)\cdot10^{-5+2} = 16{,}0\cdot10^{-3}=0{,}016.
Agora multiplica por A_0=100{,}0\\ \mathrm{cm}^2:
\Delta A = 100{,}0\times 0{,}016 = 1{,}6\\ \mathrm{cm}^2.
(Observação: mostrei a manipulação com potências de dez para você ver a conta sem calculadora; é um truque útil na prova.)

Passo 5

Calcular a área final A somando \Delta A à área inicial:
A = A_0 + \Delta A = 100{,}0\\ \mathrm{cm}^2 + 1{,}6\\ \mathrm{cm}^2 = 101{,}6\\ \mathrm{cm}^2.
Interpretação rápida: a área aumentou 1{,}6\\ \mathrm{cm}^2, que é \dfrac{1{,}6}{100{,}0}\times100\% = 1{,}6\% de aumento relativo — um valor pequeno, razoável para metais à medida que aquecemos.

Resposta

101{,}6\\ \mathrm{cm}^2

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