65 Um cubo de coeficiente de dilatação linear \alpha está flutuando em um líquido de coeficiente de dilatação volumétrica y. Quando a temperatura aumenta de \Delta T, a profundidade na qual o cubo está submerso no líquido permanece a mesma. Determine a relação entre \alpha e y.

Passo 1

O enunciado: um cubo de coeficiente de dilatação linear \alpha está flutuando num líquido cujo coeficiente de dilatação volumétrica é y. Quando a temperatura aumenta de \Delta T, a profundidade em que o cubo está submerso permanece a mesma. A pergunta é: determine a relação entre \alpha e y.
Informações dadas (listadas claramente):
  • Coeficiente linear do cubo: \alpha.
  • Coeficiente volumétrico do líquido: y.
  • Variação de temperatura: \Delta T.
  • A profundidade submersa do cubo (distância vertical submersa) permanece a mesma após o aquecimento.
  • O cubo tem aresta inicial L_0 (podemos introduzir essa variável para raciocinar).
  • Pressupõe-se que as dilatações térmicas são pequenas e obedecem às relações lineares usuais de dilatação.
O que se pede:
  • A relação algébrica entre \alpha e y que faz com que a profundidade submersa não mude quando a temperatura aumenta de \Delta T.

Passo 2

Entendendo o equilíbrio de flutuação (princípio de Arquimedes) — aula rápida e prática:
  • Arquimedes diz que o peso do corpo é igual ao peso do fluido deslocado quando o corpo flutua em equilíbrio.
  • Em símbolos: o peso do cubo é m g e o peso do fluido deslocado é \rho_{\ell}\, V_{\text{desloc}}\, g, onde:
    • m é a massa do cubo,
    • g é a aceleração da gravidade,
    • \rho_{\ell} é a densidade do líquido,
    • V_{\text{desloc}} é o volume de líquido deslocado (volume submerso do cubo).
  • Cancelando g dos dois lados, a condição de equilíbrio é
\rho_{\ell}\, V_{\text{desloc}} = m.
  • Essa é a fórmula que usaremos antes e depois do aquecimento. Nota: m é constante (não muda com temperatura).

Passo 3

Definindo as dimensões iniciais e volumes:
  • Seja a aresta inicial do cubo \,L_0.
  • Volume inicial do cubo:
V_{s0} = L_0^3.
  • Seja a profundidade submersa (vertical) inicial \,h. O enunciado diz que essa mesma h permanece após o aquecimento.
  • Volume de fluido deslocado inicialmente:
V_{d0} = \text{área da face} \times h = L_0^2\, h.á
  • Denotemos a densidade inicial do líquido por \rho_{\ell0}. A massa do cubo é então, por equilíbrio inicial,
m = \rho_{\ell0}\, V_{d0} = \rho_{\ell0}\, L_0^2\, h.
Vou guardar essa expressão porque ela será útil para comparar com a situação após aquecimento.

Passo 4

Como variam as dimensões com a temperatura — conceitos de dilatação:
  • Dilatação linear do cubo: a nova aresta após aumento de temperatura é
L = L_0\,(1+\alpha\,\Delta T).
(Explicação: o coeficiente linear \alpha dá a fração de variação do comprimento por grau, então para variação \Delta T multiplicamos por 1+\alpha\Delta T. Aqui usamos a fórmula de dilatação linear válida para pequenas variações.)
  • A nova área da face (que determina o volume submerso, já que a profundidade h é constante) é
A = L^2 = L_0^2\,(1+\alpha\,\Delta T)^2.
Para trabalhar com termos lineares em \Delta T (assumindo \alpha\Delta T pequeno) podemos expandir:
(1+\alpha\,\Delta T)^2 \approx 1 + 2\alpha\,\Delta T,
pois desprezamos termos de ordem (\alpha\Delta T)^2. Assim usaremos
A \approx L_0^2\,(1+2\alpha\,\Delta T).
  • O volume do cubo mudou, mas não precisamos do volume do cubo diretamente para esse passo — o que importa para a flutuabilidade é o volume deslocado, que é A\cdot h e h é constante.

Passo 5

Como varia a densidade do líquido com a temperatura:
  • O coeficiente volumétrico y do líquido significa que o volume do mesmo aumenta em fração y\,\Delta T. Assim o volume do líquido por unidade de massa (inverso da densidade) multiplica por (1+y\Delta T).
  • Portanto a nova densidade do líquido é
\rho_{\ell} = \frac{\rho_{\ell0}}{1+y\,\Delta T}.
(Explicação: massa do líquido não muda; se o volume aumenta por fator 1+y\Delta T, a densidade diminui pelo inverso.)
  • Para pequenas \Delta T podemos usar a aproximação linear
\rho_{\ell} \approx \rho_{\ell0}\,(1 - y\,\Delta T),
mas abaixo é mais direto trabalhar com a forma \rho_{\ell0}/(1+y\Delta T) porque cancela de forma elegante.

Passo 6

Escrevendo a condição de equilíbrio após o aquecimento:
  • Após aumento de temperatura, a área da face é A \approx L_0^2(1+2\alpha\Delta T), a profundidade submersa é ainda h, logo o volume deslocado é
V_{d} = A\,h \approx L_0^2\,(1+2\alpha\,\Delta T)\,h.
  • A nova densidade do líquido é \rho_{\ell} = \dfrac{\rho_{\ell0}}{1+y\Delta T}.
  • O equilíbrio (peso do cubo = peso do líquido deslocado) dá:
\rho_{\ell}\, V_{d} = m.
Substituindo:
\frac{\rho_{\ell0}}{1+y\Delta T}\;L_0^2\,(1+2\alpha\Delta T)\,h = m.

Passo 7

Usando a condição inicial para simplificar — truque que evita cálculo do m:
  • Lembre que da situação inicial obtivemos m = \rho_{\ell0}\, L_0^2\, h.
  • Substituímos esse m no lado direito da equação do passo anterior. Assim:
\frac{\rho_{\ell0}}{1+y\Delta T}\;L_0^2\,(1+2\alpha\Delta T)\,h = \rho_{\ell0}\, L_0^2\, h.
  • Agora podemos cancelar o fator comum \rho_{\ell0}\, L_0^2\, h (que é não nulo), obtendo uma relação simples:
\frac{1+2\alpha\Delta T}{1+y\Delta T} = 1.

Passo 8

Resolvendo a relação obtida:
  • A igualdade do passo anterior dá
1+2\alpha\Delta T = 1 + y\Delta T.
  • Subtraindo 1 dos dois lados:
2\alpha\Delta T = y\Delta T.
  • Como \Delta T é diferente de zero (o problema fala de um aumento \Delta T), podemos dividir por \Delta T e obter:
2\alpha = y.

Passo 9

Interpretação final e comentário prático:
  • A relação \,y = 2\alpha significa que, para a profundidade submersa não mudar quando a temperatura sobe, a dilatação volumétrica do líquido deve ser duas vezes a dilatação linear do cubo. Intuitivamente: ao aquecer, a área da base do cubo cresce com aproximadamente 2\alpha\Delta T (porque área cresce como comprimento ao quadrado), então a densidade do líquido deve diminuir na mesma proporção para que o volume deslocado (área × profundidade, com profundidade constante) compense e o empuxo permaneça igual ao peso.

Resposta

y = 2\alpha

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