65 Um cubo de coeficiente de dilatação linear
está flutuando em um líquido de coeficiente de dilatação volumétrica y. Quando a temperatura aumenta de
, a profundidade na qual o cubo está submerso no líquido permanece a mesma. Determine a relação entre
e
.
Passo 1
O enunciado: um cubo de coeficiente de dilatação linear
está flutuando num líquido cujo coeficiente de dilatação volumétrica é
. Quando a temperatura aumenta de
, a profundidade em que o cubo está submerso permanece a mesma. A pergunta é: determine a relação entre
e
.
Informações dadas (listadas claramente):
- Coeficiente linear do cubo:
. - Coeficiente volumétrico do líquido:
. - Variação de temperatura:
. - A profundidade submersa do cubo (distância vertical submersa) permanece a mesma após o aquecimento.
- O cubo tem aresta inicial
(podemos introduzir essa variável para raciocinar). - Pressupõe-se que as dilatações térmicas são pequenas e obedecem às relações lineares usuais de dilatação.
O que se pede:
- A relação algébrica entre
e que faz com que a profundidade submersa não mude quando a temperatura aumenta de .
Passo 2
Entendendo o equilíbrio de flutuação (princípio de Arquimedes) — aula rápida e prática:
- Arquimedes diz que o peso do corpo é igual ao peso do fluido deslocado quando o corpo flutua em equilíbrio.
- Em símbolos: o peso do cubo é
e o peso do fluido deslocado é , onde: -
é a massa do cubo, -
é a aceleração da gravidade, -
é a densidade do líquido, -
é o volume de líquido deslocado (volume submerso do cubo).
-
- Cancelando
dos dois lados, a condição de equilíbrio é
- Essa é a fórmula que usaremos antes e depois do aquecimento. Nota:
é constante (não muda com temperatura).
Passo 3
Definindo as dimensões iniciais e volumes:
- Seja a aresta inicial do cubo
. - Volume inicial do cubo:
- Seja a profundidade submersa (vertical) inicial
. O enunciado diz que essa mesma permanece após o aquecimento. - Volume de fluido deslocado inicialmente:
- Denotemos a densidade inicial do líquido por
. A massa do cubo é então, por equilíbrio inicial,
Vou guardar essa expressão porque ela será útil para comparar com a situação após aquecimento.
Passo 4
Como variam as dimensões com a temperatura — conceitos de dilatação:
- Dilatação linear do cubo: a nova aresta após aumento de temperatura é
(Explicação: o coeficiente linear
dá a fração de variação do comprimento por grau, então para variação
multiplicamos por
. Aqui usamos a fórmula de dilatação linear válida para pequenas variações.)
- A nova área da face (que determina o volume submerso, já que a profundidade
é constante) é
Para trabalhar com termos lineares em
(assumindo
pequeno) podemos expandir:
pois desprezamos termos de ordem
. Assim usaremos
- O volume do cubo mudou, mas não precisamos do volume do cubo diretamente para esse passo — o que importa para a flutuabilidade é o volume deslocado, que é
e é constante.
Passo 5
Como varia a densidade do líquido com a temperatura:
- O coeficiente volumétrico
do líquido significa que o volume do mesmo aumenta em fração . Assim o volume do líquido por unidade de massa (inverso da densidade) multiplica por . - Portanto a nova densidade do líquido é
(Explicação: massa do líquido não muda; se o volume aumenta por fator
, a densidade diminui pelo inverso.)
- Para pequenas
podemos usar a aproximação linear
mas abaixo é mais direto trabalhar com a forma
porque cancela de forma elegante.
Passo 6
Escrevendo a condição de equilíbrio após o aquecimento:
- Após aumento de temperatura, a área da face é
, a profundidade submersa é ainda , logo o volume deslocado é
- A nova densidade do líquido é
. - O equilíbrio (peso do cubo = peso do líquido deslocado) dá:
Substituindo:
Passo 7
Usando a condição inicial para simplificar — truque que evita cálculo do
:
- Lembre que da situação inicial obtivemos
. - Substituímos esse
no lado direito da equação do passo anterior. Assim:
- Agora podemos cancelar o fator comum
(que é não nulo), obtendo uma relação simples:
Passo 8
Resolvendo a relação obtida:
- A igualdade do passo anterior dá
- Subtraindo
dos dois lados:
- Como
é diferente de zero (o problema fala de um aumento ), podemos dividir por e obter:
Passo 9
Interpretação final e comentário prático:
- A relação
significa que, para a profundidade submersa não mudar quando a temperatura sobe, a dilatação volumétrica do líquido deve ser duas vezes a dilatação linear do cubo. Intuitivamente: ao aquecer, a área da base do cubo cresce com aproximadamente (porque área cresce como comprimento ao quadrado), então a densidade do líquido deve diminuir na mesma proporção para que o volume deslocado (área × profundidade, com profundidade constante) compense e o empuxo permaneça igual ao peso.