13 Com uma fita métrica de alumínio, uma haste de bronze é medida a
, obtendo um valor de 80 cm . Qual seria a leitura da medida obtida a
se a fita é precisa a
?
.
SOLUÇÃO
Primeiro, encontraremos o comprimento final da haste de bronze a partir dos dados, usando a relação
.
Agora encontraremos o comprimento do “novo centímetro” na fita de alumínio.
1 centímetro novo
Finalmente, para descobrir o “comprimento aparente” da haste de bronze medida com o “novo centímetro”, faremos uma divisão simples para encontrar quantas vezes este está contido no primeiro.
Comprimento aparente
“novo centímetro”
Comprimento aparente
SOLUÇÃO
Primeiro, encontraremos o comprimento final da haste de bronze a partir dos dados, usando a relação
Agora encontraremos o comprimento do “novo centímetro” na fita de alumínio.
1 centímetro novo
Finalmente, para descobrir o “comprimento aparente” da haste de bronze medida com o “novo centímetro”, faremos uma divisão simples para encontrar quantas vezes este está contido no primeiro.
Comprimento aparente
Comprimento aparente
Passo 1
O enunciado pede: “Qual seria a leitura da medida obtida a
se a fita é precisa a
?”
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Comprimento indicado da haste de bronze à temperatura de referência
: . (este é o comprimento inicial ) - Temperatura de medição:
. - Coeficiente de dilatação linear do alumínio:
. - Coeficiente de dilatação linear do bronze:
. - Pressuposto: a fita métrica foi graduada (precisa) a
e tanto a fita quanto a haste variam de comprimento com a temperatura segundo dilatação linear.
O que devemos encontrar: a leitura (em centímetros) que a fita mostrará quando usada apara medir a haste de bronze.
Passo 2
Conceito importante: dilatação linear.
Se um corpo tem comprimento inicial à temperatura inicial
e o aquecemos até
, o comprimento final
(para pequenas variações de temperatura) é dado por
Se um corpo tem comprimento inicial
onde
é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade
) e
é a variação de temperatura.
Explicando as variáveis:
Explicando as variáveis:
-
: comprimento medido à temperatura de referência (aqui ); -
: quanto o material “cresce” por grau Celsius, por unidade de comprimento; -
: quantos graus a mais (ou a menos) estamos em relação à referência.
Aplicamos esto ao bronze para obter seu comprimento real a
. Aqui
,
, e
. Então:
Calculemos o fator:
Portanto
Interpretação: a haste fisicamente passou a medir
no novo equilíbrio térmico.
Passo 3
Agora pense na fita métrica. A fita foi graduada para que entre duas marcas consecutivas (o “1 centímetro” marcado) houvesse exatamente
à temperatura
. Quando a fita é aquecida a
, cada centímetro marcado também se alonga segundo o coeficiente do material da fita (aqui alumínio). Assim o “centímetro” da fita a
tem comprimento real maior que
.
Usando a mesma fórmula de dilatação linear, o comprimento real de uma divisão marcada de
(feita a
) quando a fita está a
é
Com
e
:
Logo
Significado: cada centímetro marcado na fita agora mede, na realidade,
do padrão físico.
Passo 4
Como a fita mostra o número de divisões marcadas que cabem no comprimento real da haste, a leitura aparente (o número que aparecerá na fita) é a razão entre o comprimento real da haste a
e o comprimento real de uma divisão da fita a
:
Substituindo os valores obtidos:
Passo 5
Fazendo a divisão (explicando o cálculo): podemos ver que o denominador é muito próximo de
, então a leitura será ligeiramente menor que
. Calculando com precisão:
Interpretação física: a haste cresceu com o calor, mas a fita cresceu um pouco mais (proporcionalmente), então o número de “centímetros marcados” que cabem na haste diminui ligeiramente em relação à marca original de
. Não se assuste com a diferença pequena — coeficientes são da ordem
, então mudanças são pequenas.