13 Com uma fita métrica de alumínio, uma haste de bronze é medida a 20^{\circ} \mathrm{C}, obtendo um valor de 80 cm . Qual seria a leitura da medida obtida a 40^{\circ} \mathrm{C} se a fita é precisa a 20^{\circ} \mathrm{C} ? \alpha_{\text {alumínio }}=2,3.10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}{ }^{-1} ; \alpha_{\text {bronze }}=1,8.10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}í.
SOLUÇÃO
Primeiro, encontraremos o comprimento final da haste de bronze a partir dos dados, usando a relação L=L_{0}(1+\alpha \Delta T).
\mathrm{L}_{\text {bronze }}=80\left[1+1,8.10^{-5}(40-20)\right] \Rightarrow \mathrm{L}_{\text {bronze }}=80,0288 \mathrm{~cm}
Agora encontraremos o comprimento do “novo centímetro” na fita de alumínio.
1 centímetro novo =1 \mathrm{~cm}\left[1+2,310^{-5}(40-20)\right]=1,00046 \mathrm{~cm}
Finalmente, para descobrir o “comprimento aparente” da haste de bronze medida com o “novo centímetro”, faremos uma divisão simples para encontrar quantas vezes este está contido no primeiro.
Comprimento aparente =\mathrm{L}_{\text {bronze }} / “novo centímetro” =80,0288 \mathrm{~cm} / 1,00046 \mathrm{~cm}
Comprimento aparente =79,992

Passo 1

O enunciado pede: “Qual seria a leitura da medida obtida a 40^{\circ}\mathrm{C} se a fita é precisa a 20^{\circ}\mathrm{C}?”
Informações fornecidas:
  • Comprimento indicado da haste de bronze à temperatura de referência 20^{\circ}\mathrm{C}: 80\\ \mathrm{cm}. (este é o comprimento inicial L_0)
  • Temperatura de medição: 40^{\circ}\mathrm{C}.
  • Coeficiente de dilatação linear do alumínio: \alpha_{\text{alumínio}}=2,3\cdot 10^{-5}\\ ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}í.
  • Coeficiente de dilatação linear do bronze: \alpha_{\text{bronze}}=1,8\cdot 10^{-5}\\ ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.
  • Pressuposto: a fita métrica foi graduada (precisa) a 20^{\circ}\mathrm{C} e tanto a fita quanto a haste variam de comprimento com a temperatura segundo dilatação linear.
    O que devemos encontrar: a leitura (em centímetros) que a fita mostrará quando usada a 40^{\circ}\mathrm{C} para medir a haste de bronze.

Passo 2

Conceito importante: dilatação linear.
Se um corpo tem comprimento inicial L_{0} à temperatura inicial T_{0} e o aquecemos até T, o comprimento final L (para pequenas variações de temperatura) é dado por
L = L_{0}\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr),
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}) e \Delta T = T-T_{0} é a variação de temperatura.
Explicando as variáveis:
  • L_{0}: comprimento medido à temperatura de referência (aqui 20^{\circ}\mathrm{C});
  • \alpha: quanto o material “cresce” por grau Celsius, por unidade de comprimento;
  • \Delta T: quantos graus a mais (ou a menos) estamos em relação à referência.
Aplicamos esto ao bronze para obter seu comprimento real a 40^{\circ}\mathrm{C}. Aqui L_{0}=80\\ \mathrm{cm}, \alpha_{\text{bronze}}=1,8\cdot 10^{-5}\\ ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}, e \Delta T=40-20=20\\ ^{\circ}\mathrm{C}. Então:
L_{\text{bronze}} = 80\bigl(1+1,8\cdot 10^{-5}\cdot 20\bigr).
Calculemos o fator:
1+1,8\cdot 10^{-5}\cdot 20 = 1 + 3,6\cdot 10^{-4} = 1,00036.
Portanto
L_{\text{bronze}} = 80\cdot 1,00036 = 80,0288\\ \mathrm{cm}.
Interpretação: a haste fisicamente passou a medir 80,0288\\ \mathrm{cm} no novo equilíbrio térmico.

Passo 3

Agora pense na fita métrica. A fita foi graduada para que entre duas marcas consecutivas (o “1 centímetro” marcado) houvesse exatamente 1\\ \mathrm{cm} à temperatura 20^{\circ}\mathrm{C}. Quando a fita é aquecida a 40^{\circ}\mathrm{C}, cada centímetro marcado também se alonga segundo o coeficiente do material da fita (aqui alumínio). Assim o “centímetro” da fita a 40^{\circ}\mathrm{C} tem comprimento real maior que 1\\ \mathrm{cm}.
Usando a mesma fórmula de dilatação linear, o comprimento real de uma divisão marcada de 1\\ \mathrm{cm} (feita a 20^{\circ}\mathrm{C}) quando a fita está a 40^{\circ}\mathrm{C} é
\text{(novo cm)} = 1\cdot\bigl(1+\alpha_{\text{alumínio}}\Delta T\bigr).í
Com \alpha_{\text{alumínio}}=2,3\cdot 10^{-5}\\ ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}í e \Delta T=20^\circ\mathrm{C}:
1+\alpha_{\text{alumínio}}\Delta T = 1 + 2,3\cdot 10^{-5}\cdot 20 = 1 + 4,6\cdot 10^{-4} = 1,00046.í
Logo
\text{(novo cm)} = 1,00046\\ \mathrm{cm}.
Significado: cada centímetro marcado na fita agora mede, na realidade, 1,00046\\ \mathrm{cm} do padrão físico.

Passo 4

Como a fita mostra o número de divisões marcadas que cabem no comprimento real da haste, a leitura aparente (o número que aparecerá na fita) é a razão entre o comprimento real da haste a 40^{\circ}\mathrm{C} e o comprimento real de uma divisão da fita a 40^{\circ}\mathrm{C}:
\text{leitura aparente} = \frac{L_{\text{bronze}}}{\text{(novo cm)}}.
Substituindo os valores obtidos:
\text{leitura aparente} = \frac{80,0288}{1,00046}.

Passo 5

Fazendo a divisão (explicando o cálculo): podemos ver que o denominador é muito próximo de 1, então a leitura será ligeiramente menor que 80,0288. Calculando com precisão:
\frac{80,0288}{1,00046}\approx 79,992\\ \mathrm{cm}.
Interpretação física: a haste cresceu com o calor, mas a fita cresceu um pouco mais (proporcionalmente), então o número de “centímetros marcados” que cabem na haste diminui ligeiramente em relação à marca original de 80\\ \mathrm{cm}. Não se assuste com a diferença pequena — coeficientes são da ordem 10^{-5}, então mudanças são pequenas.

Resposta

\;79,992\\ \mathrm{cm}

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